Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26521 / 11095
↖ ↑ ↗
← N 50.127622°
E111.368408°		 ← 783.13 m → N 50.127622°
E111.379394°		 →
↑
783.25 m
↓
↑
783.25 m
↓
N 50.120578°
E111.368408°		 ← 783.24 m →
613 430 m²		 N 50.120578°
E111.379394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809371948242188 y=0.338607788085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809371948242188 × 215)
    floor (0.809371948242188 × 32768)
    floor (26521.5)     		tx = 26521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338607788085938 × 215)
    floor (0.338607788085938 × 32768)
    floor (11095.5)     		ty = 11095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26521 / 11095 ti = "15/26521/11095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26521/11095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26521 ÷ 215
    26521 ÷ 32768     		x = 0.809356689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11095 ÷ 215
    11095 ÷ 32768     		y = 0.338592529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809356689453125 × 2 - 1) × π
    0.61871337890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.94374541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338592529296875 × 2 - 1) × π
    0.32281494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01415304836191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94374541} λ = 1.94374541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01415304836191))-π/2
    2×atan(2.75702733943048)-π/2
    2×1.2228441860647-π/2
    2.44568837212941-1.57079632675     		φ = 0.87489205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94374541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.368408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87489205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.127622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26521 KachelY 11095 1.94374541 0.87489205 111.368408 50.127622
    Oben rechts KachelX + 1 26522 KachelY 11095 1.94393715 0.87489205 111.379394 50.127622
    Unten links KachelX 26521 KachelY + 1 11096 1.94374541 0.87476911 111.368408 50.120578
    Unten rechts KachelX + 1 26522 KachelY + 1 11096 1.94393715 0.87476911 111.379394 50.120578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87489205-0.87476911) × R
    0.000122940000000016 × 6371000     		dl = 783.250740000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87489205-0.87476911) × R
    0.000122940000000016 × 6371000     		dr = 783.250740000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94374541-1.94393715) × cos(0.87489205) × R
    0.000191739999999996 × 0.641079710749398 × 6371000     		do = 783.127293841722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94374541-1.94393715) × cos(0.87476911) × R
    0.000191739999999996 × 0.641174059195149 × 6371000     		du = 783.242547595289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87489205)-sin(0.87476911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641079710749398-0.641174059195149)×R²
    abs(1.94393715-1.94374541)×9.43484457515131e-05×R²
    0.000191739999999996×9.43484457515131e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.43484457515131e-05×40589641000000     		ar = 613430.169482485m²