Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26520 / 47180
↖ ↑ ↗
← S 61.804284°
W 34.321289°		 ← 288.62 m → S 61.804284°
W 34.315796°		 →
↑
288.54 m
↓
↑
288.54 m
↓
S 61.806879°
W 34.321289°		 ← 288.59 m →
83 275 m²		 S 61.806879°
W 34.315796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404670715332031 y=0.719917297363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404670715332031 × 216)
    floor (0.404670715332031 × 65536)
    floor (26520.5)     		tx = 26520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719917297363281 × 216)
    floor (0.719917297363281 × 65536)
    floor (47180.5)     		ty = 47180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26520 / 47180 ti = "16/26520/47180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26520/47180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26520 ÷ 216
    26520 ÷ 65536     		x = 0.4046630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47180 ÷ 216
    47180 ÷ 65536     		y = 0.71990966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4046630859375 × 2 - 1) × π
    -0.190673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59901950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71990966796875 × 2 - 1) × π
    -0.4398193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.3817331946485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59901950} λ = -0.59901950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3817331946485))-π/2
    2×atan(0.251142896106125)-π/2
    2×0.246054040448675-π/2
    0.49210808089735-1.57079632675     		φ = -1.07868825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59901950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.321289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07868825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.804284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26520 KachelY 47180 -0.59901950 -1.07868825 -34.321289 -61.804284
    Oben rechts KachelX + 1 26521 KachelY 47180 -0.59892362 -1.07868825 -34.315796 -61.804284
    Unten links KachelX 26520 KachelY + 1 47181 -0.59901950 -1.07873354 -34.321289 -61.806879
    Unten rechts KachelX + 1 26521 KachelY + 1 47181 -0.59892362 -1.07873354 -34.315796 -61.806879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07868825--1.07873354) × R
    4.52900000000866e-05 × 6371000     		dl = 288.542590000552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07868825--1.07873354) × R
    4.52900000000866e-05 × 6371000     		dr = 288.542590000552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59901950--0.59892362) × cos(-1.07868825) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.472484866490655 × 6371000     		do = 288.618079973564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59901950--0.59892362) × cos(-1.07873354) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.472444950172597 × 6371000     		du = 288.593697031602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07868825)-sin(-1.07873354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.472484866490655-0.472444950172597)×R²
    abs(-0.59892362--0.59901950)×3.99163180585527e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.99163180585527e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.99163180585527e-05×40589641000000     		ar = 83275.0905720112m²