Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2652 / 5718
↖ ↑ ↗
← S 57.844751°
W 63.457031°		 ← 2 600.67 m → S 57.844751°
W 63.413086°		 →
↑
2 599.81 m
↓
↑
2 599.81 m
↓
S 57.868132°
W 63.457031°		 ← 2 598.98 m →
6 759 053 m²		 S 57.868132°
W 63.413086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.32379150390625 y=0.69805908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.32379150390625 × 213)
    floor (0.32379150390625 × 8192)
    floor (2652.5)     		tx = 2652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69805908203125 × 213)
    floor (0.69805908203125 × 8192)
    floor (5718.5)     		ty = 5718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2652 / 5718 ti = "13/2652/5718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2652/5718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2652 ÷ 213
    2652 ÷ 8192     		x = 0.32373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5718 ÷ 213
    5718 ÷ 8192     		y = 0.697998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.32373046875 × 2 - 1) × π
    -0.3525390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.10753413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.697998046875 × 2 - 1) × π
    -0.39599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.2440584189397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10753413} λ = -1.10753413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.2440584189397))-π/2
    2×atan(0.288212155517013)-π/2
    2×0.280607483495807-π/2
    0.561214966991614-1.57079632675     		φ = -1.00958136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10753413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.457031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.00958136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.844751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2652 KachelY 5718 -1.10753413 -1.00958136 -63.457031 -57.844751
    Oben rechts KachelX + 1 2653 KachelY 5718 -1.10676714 -1.00958136 -63.413086 -57.844751
    Unten links KachelX 2652 KachelY + 1 5719 -1.10753413 -1.00998943 -63.457031 -57.868132
    Unten rechts KachelX + 1 2653 KachelY + 1 5719 -1.10676714 -1.00998943 -63.413086 -57.868132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.00958136--1.00998943) × R
    0.000408069999999983 × 6371000     		dl = 2599.81396999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.00958136--1.00998943) × R
    0.000408069999999983 × 6371000     		dr = 2599.81396999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10753413--1.10676714) × cos(-1.00958136) × R
    0.000766989999999801 × 0.532215192440623 × 6371000     		do = 2600.66596669649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10753413--1.10676714) × cos(-1.00998943) × R
    0.000766989999999801 × 0.531869672357242 × 6371000     		du = 2598.97758512749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.00958136)-sin(-1.00998943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532215192440623-0.531869672357242)×R²
    abs(-1.10676714--1.10753413)×0.000345520083381068×R²
    0.000766989999999801×0.000345520083381068×6371000²
    0.000766989999999801×0.000345520083381068×40589641000000     		ar = 6759053.0663189m²