Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2652 / 5716
↖ ↑ ↗
← S 57.797944°
W 63.457031°		 ← 2 604.04 m → S 57.797944°
W 63.413086°		 →
↑
2 603.19 m
↓
↑
2 603.19 m
↓
S 57.821355°
W 63.457031°		 ← 2 602.36 m →
6 776 626 m²		 S 57.821355°
W 63.413086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.32379150390625 y=0.69781494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.32379150390625 × 213)
    floor (0.32379150390625 × 8192)
    floor (2652.5)     		tx = 2652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69781494140625 × 213)
    floor (0.69781494140625 × 8192)
    floor (5716.5)     		ty = 5716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2652 / 5716 ti = "13/2652/5716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2652/5716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2652 ÷ 213
    2652 ÷ 8192     		x = 0.32373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5716 ÷ 213
    5716 ÷ 8192     		y = 0.69775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.32373046875 × 2 - 1) × π
    -0.3525390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.10753413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69775390625 × 2 - 1) × π
    -0.3955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.24252443815186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10753413} λ = -1.10753413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.24252443815186))-π/2
    2×atan(0.288654606695442)-π/2
    2×0.281015952568975-π/2
    0.56203190513795-1.57079632675     		φ = -1.00876442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10753413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.457031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.00876442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.797944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2652 KachelY 5716 -1.10753413 -1.00876442 -63.457031 -57.797944
    Oben rechts KachelX + 1 2653 KachelY 5716 -1.10676714 -1.00876442 -63.413086 -57.797944
    Unten links KachelX 2652 KachelY + 1 5717 -1.10753413 -1.00917302 -63.457031 -57.821355
    Unten rechts KachelX + 1 2653 KachelY + 1 5717 -1.10676714 -1.00917302 -63.413086 -57.821355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.00876442--1.00917302) × R
    0.00040859999999987 × 6371000     		dl = 2603.19059999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.00876442--1.00917302) × R
    0.00040859999999987 × 6371000     		dr = 2603.19059999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10753413--1.10676714) × cos(-1.00876442) × R
    0.000766989999999801 × 0.532906643614054 × 6371000     		do = 2604.04473821582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10753413--1.10676714) × cos(-1.00917302) × R
    0.000766989999999801 × 0.532560852424716 × 6371000     		du = 2602.35503188938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.00876442)-sin(-1.00917302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532906643614054-0.532560852424716)×R²
    abs(-1.10676714--1.10753413)×0.000345791189337863×R²
    0.000766989999999801×0.000345791189337863×6371000²
    0.000766989999999801×0.000345791189337863×40589641000000     		ar = 6776625.56496762m²