Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26519 / 47303
↖ ↑ ↗
← S 62.121868°
W 34.326782°		 ← 285.60 m → S 62.121868°
W 34.321289°		 →
↑
285.61 m
↓
↑
285.61 m
↓
S 62.124436°
W 34.326782°		 ← 285.58 m →
81 567 m²		 S 62.124436°
W 34.321289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404655456542969 y=0.721794128417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404655456542969 × 216)
    floor (0.404655456542969 × 65536)
    floor (26519.5)     		tx = 26519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721794128417969 × 216)
    floor (0.721794128417969 × 65536)
    floor (47303.5)     		ty = 47303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26519 / 47303 ti = "16/26519/47303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26519/47303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26519 ÷ 216
    26519 ÷ 65536     		x = 0.404647827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47303 ÷ 216
    47303 ÷ 65536     		y = 0.721786499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404647827148438 × 2 - 1) × π
    -0.190704345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59911537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721786499023438 × 2 - 1) × π
    -0.443572998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39352567195503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59911537} λ = -0.59911537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39352567195503))-π/2
    2×atan(0.248198693045929)-π/2
    2×0.243282598176056-π/2
    0.486565196352112-1.57079632675     		φ = -1.08423113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59911537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.326782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08423113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.121868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26519 KachelY 47303 -0.59911537 -1.08423113 -34.326782 -62.121868
    Oben rechts KachelX + 1 26520 KachelY 47303 -0.59901950 -1.08423113 -34.321289 -62.121868
    Unten links KachelX 26519 KachelY + 1 47304 -0.59911537 -1.08427596 -34.326782 -62.124436
    Unten rechts KachelX + 1 26520 KachelY + 1 47304 -0.59901950 -1.08427596 -34.321289 -62.124436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08423113--1.08427596) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dl = 285.611929999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08423113--1.08427596) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dr = 285.611929999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59911537--0.59901950) × cos(-1.08423113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.467592478210102 × 6371000     		do = 285.599767034716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59911537--0.59901950) × cos(-1.08427596) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.467552850523649 × 6371000     		du = 285.575562928477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08423113)-sin(-1.08427596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467592478210102-0.467552850523649)×R²
    abs(-0.59901950--0.59911537)×3.96276864533252e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.96276864533252e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.96276864533252e-05×40589641000000     		ar = 81567.2441930523m²