Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26518 / 47304
↖ ↑ ↗
← S 62.124436°
W 34.332276°		 ← 285.61 m → S 62.124436°
W 34.326782°		 →
↑
285.55 m
↓
↑
285.55 m
↓
S 62.127004°
W 34.332276°		 ← 285.58 m →
81 551 m²		 S 62.127004°
W 34.326782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404640197753906 y=0.721809387207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404640197753906 × 216)
    floor (0.404640197753906 × 65536)
    floor (26518.5)     		tx = 26518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721809387207031 × 216)
    floor (0.721809387207031 × 65536)
    floor (47304.5)     		ty = 47304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26518 / 47304 ti = "16/26518/47304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26518/47304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26518 ÷ 216
    26518 ÷ 65536     		x = 0.404632568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47304 ÷ 216
    47304 ÷ 65536     		y = 0.7218017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404632568359375 × 2 - 1) × π
    -0.19073486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59921125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7218017578125 × 2 - 1) × π
    -0.443603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39362154575427
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59921125} λ = -0.59921125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39362154575427))-π/2
    2×atan(0.248174898434918)-π/2
    2×0.243260184192165-π/2
    0.486520368384329-1.57079632675     		φ = -1.08427596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59921125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.332276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08427596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.124436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26518 KachelY 47304 -0.59921125 -1.08427596 -34.332276 -62.124436
    Oben rechts KachelX + 1 26519 KachelY 47304 -0.59911537 -1.08427596 -34.326782 -62.124436
    Unten links KachelX 26518 KachelY + 1 47305 -0.59921125 -1.08432078 -34.332276 -62.127004
    Unten rechts KachelX + 1 26519 KachelY + 1 47305 -0.59911537 -1.08432078 -34.326782 -62.127004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08427596--1.08432078) × R
    4.48200000000565e-05 × 6371000     		dl = 285.54822000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08427596--1.08432078) × R
    4.48200000000565e-05 × 6371000     		dr = 285.54822000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59921125--0.59911537) × cos(-1.08427596) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.467552850523649 × 6371000     		do = 285.605350720403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59921125--0.59911537) × cos(-1.08432078) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.467513230737402 × 6371000     		du = 285.581148915336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08427596)-sin(-1.08432078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467552850523649-0.467513230737402)×R²
    abs(-0.59911537--0.59921125)×3.96197862471137e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.96197862471137e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.96197862471137e-05×40589641000000     		ar = 81550.6441432872m²