Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26515 / 5941
↖ ↑ ↗
← N 81.264214°
W 34.348755°		 ← 92.78 m → N 81.264214°
W 34.343262°		 →
↑
92.76 m
↓
↑
92.76 m
↓
N 81.263380°
W 34.348755°		 ← 92.78 m →
8 606 m²		 N 81.263380°
W 34.343262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404594421386719 y=0.0906600952148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404594421386719 × 216)
    floor (0.404594421386719 × 65536)
    floor (26515.5)     		tx = 26515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0906600952148438 × 216)
    floor (0.0906600952148438 × 65536)
    floor (5941.5)     		ty = 5941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26515 / 5941 ti = "16/26515/5941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26515/5941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26515 ÷ 216
    26515 ÷ 65536     		x = 0.404586791992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5941 ÷ 216
    5941 ÷ 65536     		y = 0.0906524658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404586791992188 × 2 - 1) × π
    -0.190826416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59949887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0906524658203125 × 2 - 1) × π
    0.818695068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.57200641221449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59949887} λ = -0.59949887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57200641221449))-π/2
    2×atan(13.0920661877625)-π/2
    2×1.4945622151237-π/2
    2.98912443024741-1.57079632675     		φ = 1.41832810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59949887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.348755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41832810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.264214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26515 KachelY 5941 -0.59949887 1.41832810 -34.348755 81.264214
    Oben rechts KachelX + 1 26516 KachelY 5941 -0.59940299 1.41832810 -34.343262 81.264214
    Unten links KachelX 26515 KachelY + 1 5942 -0.59949887 1.41831354 -34.348755 81.263380
    Unten rechts KachelX + 1 26516 KachelY + 1 5942 -0.59940299 1.41831354 -34.343262 81.263380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41832810-1.41831354) × R
    1.45600000001078e-05 × 6371000     		dl = 92.7617600006869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41832810-1.41831354) × R
    1.45600000001078e-05 × 6371000     		dr = 92.7617600006869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59949887--0.59940299) × cos(1.41832810) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.151878186065146 × 6371000     		do = 92.7750147376565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59949887--0.59940299) × cos(1.41831354) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.151892577141679 × 6371000     		du = 92.7838055480556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41832810)-sin(1.41831354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151878186065146-0.151892577141679)×R²
    abs(-0.59940299--0.59949887)×1.43910765331434e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.43910765331434e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.43910765331434e-05×40589641000000     		ar = 8606.38137681558m²