Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26513 / 5936
↖ ↑ ↗
← N 81.268385°
W 34.359741°		 ← 92.72 m → N 81.268385°
W 34.354248°		 →
↑
92.70 m
↓
↑
92.70 m
↓
N 81.267551°
W 34.359741°		 ← 92.73 m →
8 595 m²		 N 81.267551°
W 34.354248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404563903808594 y=0.0905838012695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404563903808594 × 216)
    floor (0.404563903808594 × 65536)
    floor (26513.5)     		tx = 26513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0905838012695312 × 216)
    floor (0.0905838012695312 × 65536)
    floor (5936.5)     		ty = 5936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26513 / 5936 ti = "16/26513/5936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26513/5936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26513 ÷ 216
    26513 ÷ 65536     		x = 0.404556274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5936 ÷ 216
    5936 ÷ 65536     		y = 0.090576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404556274414062 × 2 - 1) × π
    -0.190887451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59969061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.090576171875 × 2 - 1) × π
    0.81884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.57248578121069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59969061} λ = -0.59969061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57248578121069))-π/2
    2×atan(13.0983436228728)-π/2
    2×1.49459860934704-π/2
    2.98919721869407-1.57079632675     		φ = 1.41840089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59969061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.359741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41840089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.268385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26513 KachelY 5936 -0.59969061 1.41840089 -34.359741 81.268385
    Oben rechts KachelX + 1 26514 KachelY 5936 -0.59959474 1.41840089 -34.354248 81.268385
    Unten links KachelX 26513 KachelY + 1 5937 -0.59969061 1.41838634 -34.359741 81.267551
    Unten rechts KachelX + 1 26514 KachelY + 1 5937 -0.59959474 1.41838634 -34.354248 81.267551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41840089-1.41838634) × R
    1.45499999999466e-05 × 6371000     		dl = 92.6980499996595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41840089-1.41838634) × R
    1.45499999999466e-05 × 6371000     		dr = 92.6980499996595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59969061--0.59959474) × cos(1.41840089) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151806240083687 × 6371000     		do = 92.7213948527976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59969061--0.59959474) × cos(1.41838634) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151820621437072 × 6371000     		du = 92.7301788075617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41840089)-sin(1.41838634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151806240083687-0.151820621437072)×R²
    abs(-0.59959474--0.59969061)×1.43813533857728e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.43813533857728e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.43813533857728e-05×40589641000000     		ar = 8595.49962392241m²