Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26513 / 47305
↖ ↑ ↗
← S 62.127004°
W 34.359741°		 ← 285.55 m → S 62.127004°
W 34.354248°		 →
↑
285.55 m
↓
↑
285.55 m
↓
S 62.129572°
W 34.359741°		 ← 285.53 m →
81 535 m²		 S 62.129572°
W 34.354248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404563903808594 y=0.721824645996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404563903808594 × 216)
    floor (0.404563903808594 × 65536)
    floor (26513.5)     		tx = 26513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721824645996094 × 216)
    floor (0.721824645996094 × 65536)
    floor (47305.5)     		ty = 47305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26513 / 47305 ti = "16/26513/47305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26513/47305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26513 ÷ 216
    26513 ÷ 65536     		x = 0.404556274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47305 ÷ 216
    47305 ÷ 65536     		y = 0.721817016601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404556274414062 × 2 - 1) × π
    -0.190887451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59969061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721817016601562 × 2 - 1) × π
    -0.443634033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39371741955351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59969061} λ = -0.59969061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39371741955351))-π/2
    2×atan(0.248151106105078)-π/2
    2×0.243237772107757-π/2
    0.486475544215515-1.57079632675     		φ = -1.08432078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59969061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.359741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08432078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.127004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26513 KachelY 47305 -0.59969061 -1.08432078 -34.359741 -62.127004
    Oben rechts KachelX + 1 26514 KachelY 47305 -0.59959474 -1.08432078 -34.354248 -62.127004
    Unten links KachelX 26513 KachelY + 1 47306 -0.59969061 -1.08436560 -34.359741 -62.129572
    Unten rechts KachelX + 1 26514 KachelY + 1 47306 -0.59959474 -1.08436560 -34.354248 -62.129572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08432078--1.08436560) × R
    4.48199999998344e-05 × 6371000     		dl = 285.548219998945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08432078--1.08436560) × R
    4.48199999998344e-05 × 6371000     		dr = 285.548219998945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59969061--0.59959474) × cos(-1.08432078) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.467513230737402 × 6371000     		do = 285.551363647587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59969061--0.59959474) × cos(-1.08436560) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.467473610011999 × 6371000     		du = 285.527163793073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08432078)-sin(-1.08436560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467513230737402-0.467473610011999)×R²
    abs(-0.59959474--0.59969061)×3.96207254026448e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.96207254026448e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.96207254026448e-05×40589641000000     		ar = 81535.2285088339m²