Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26512 / 13040
↖ ↑ ↗
← N 34.452219°
E111.269531°		 ← 1 007.36 m → N 34.452219°
E111.280518°		 →
↑
1 007.45 m
↓
↑
1 007.45 m
↓
N 34.443158°
E111.269531°		 ← 1 007.47 m →
1 014 918 m²		 N 34.443158°
E111.280518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809097290039062 y=0.397964477539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809097290039062 × 215)
    floor (0.809097290039062 × 32768)
    floor (26512.5)     		tx = 26512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.397964477539062 × 215)
    floor (0.397964477539062 × 32768)
    floor (13040.5)     		ty = 13040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26512 / 13040 ti = "15/26512/13040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26512/13040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26512 ÷ 215
    26512 ÷ 32768     		x = 0.80908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13040 ÷ 215
    13040 ÷ 32768     		y = 0.39794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80908203125 × 2 - 1) × π
    0.6181640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.94201968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39794921875 × 2 - 1) × π
    0.2041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.641203969317871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94201968} λ = 1.94201968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.641203969317871))-π/2
    2×atan(1.89876555916181)-π/2
    2×1.08605048687351-π/2
    2.17210097374702-1.57079632675     		φ = 0.60130465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94201968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.269531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60130465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.452219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26512 KachelY 13040 1.94201968 0.60130465 111.269531 34.452219
    Oben rechts KachelX + 1 26513 KachelY 13040 1.94221143 0.60130465 111.280518 34.452219
    Unten links KachelX 26512 KachelY + 1 13041 1.94201968 0.60114652 111.269531 34.443158
    Unten rechts KachelX + 1 26513 KachelY + 1 13041 1.94221143 0.60114652 111.280518 34.443158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60130465-0.60114652) × R
    0.000158129999999979 × 6371000     		dl = 1007.44622999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60130465-0.60114652) × R
    0.000158129999999979 × 6371000     		dr = 1007.44622999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94201968-1.94221143) × cos(0.60130465) × R
    0.000191749999999935 × 0.824598251909172 × 6371000     		do = 1007.36159001329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94201968-1.94221143) × cos(0.60114652) × R
    0.000191749999999935 × 0.824687698707791 × 6371000     		du = 1007.47086173327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60130465)-sin(0.60114652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824598251909172-0.824687698707791)×R²
    abs(1.94221143-1.94201968)×8.94467986191083e-05×R²
    0.000191749999999935×8.94467986191083e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.94467986191083e-05×40589641000000     		ar = 1014917.68091135m²