Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26510 / 10870
↖ ↑ ↗
← N 51.686179°
E111.247558°		 ← 757.38 m → N 51.686179°
E111.258545°		 →
↑
757.45 m
↓
↑
757.45 m
↓
N 51.679368°
E111.247558°		 ← 757.49 m →
573 717 m²		 N 51.679368°
E111.258545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809036254882812 y=0.331741333007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809036254882812 × 215)
    floor (0.809036254882812 × 32768)
    floor (26510.5)     		tx = 26510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331741333007812 × 215)
    floor (0.331741333007812 × 32768)
    floor (10870.5)     		ty = 10870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26510 / 10870 ti = "15/26510/10870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26510/10870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26510 ÷ 215
    26510 ÷ 32768     		x = 0.80902099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10870 ÷ 215
    10870 ÷ 32768     		y = 0.33172607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80902099609375 × 2 - 1) × π
    0.6180419921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.94163618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33172607421875 × 2 - 1) × π
    0.3365478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05729625801996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94163618} λ = 1.94163618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05729625801996))-π/2
    2×atan(2.87857752735703)-π/2
    2×1.23644516883771-π/2
    2.47289033767542-1.57079632675     		φ = 0.90209401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94163618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.247558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90209401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.686179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26510 KachelY 10870 1.94163618 0.90209401 111.247558 51.686179
    Oben rechts KachelX + 1 26511 KachelY 10870 1.94182793 0.90209401 111.258545 51.686179
    Unten links KachelX 26510 KachelY + 1 10871 1.94163618 0.90197512 111.247558 51.679368
    Unten rechts KachelX + 1 26511 KachelY + 1 10871 1.94182793 0.90197512 111.258545 51.679368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90209401-0.90197512) × R
    0.000118889999999983 × 6371000     		dl = 757.448189999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90209401-0.90197512) × R
    0.000118889999999983 × 6371000     		dr = 757.448189999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94163618-1.94182793) × cos(0.90209401) × R
    0.000191750000000157 × 0.619968312245982 × 6371000     		do = 757.377623996567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94163618-1.94182793) × cos(0.90197512) × R
    0.000191750000000157 × 0.620061592150238 × 6371000     		du = 757.491578388843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90209401)-sin(0.90197512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619968312245982-0.620061592150238)×R²
    abs(1.94182793-1.94163618)×9.32799042565602e-05×R²
    0.000191750000000157×9.32799042565602e-05×6371000²
    0.000191750000000157×9.32799042565602e-05×40589641000000     		ar = 573717.468392514m²