Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2651 / 1405
↖ ↑ ↗
← N 81.527989°
W121.750488°		 ← 359.96 m → N 81.527989°
W121.728516°		 →
↑
360.03 m
↓
↑
360.03 m
↓
N 81.524751°
W121.750488°		 ← 360.10 m →
129 619 m²		 N 81.524751°
W121.728516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161834716796875 y=0.085784912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161834716796875 × 214)
    floor (0.161834716796875 × 16384)
    floor (2651.5)     		tx = 2651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.085784912109375 × 214)
    floor (0.085784912109375 × 16384)
    floor (1405.5)     		ty = 1405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2651 / 1405 ti = "14/2651/1405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2651/1405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2651 ÷ 214
    2651 ÷ 16384     		x = 0.16180419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1405 ÷ 214
    1405 ÷ 16384     		y = 0.08575439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16180419921875 × 2 - 1) × π
    -0.6763916015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.12494689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08575439453125 × 2 - 1) × π
    0.8284912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.60278190177057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12494689} λ = -2.12494689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60278190177057))-π/2
    2×atan(13.5012449778063)-π/2
    2×1.49686408239006-π/2
    2.99372816478011-1.57079632675     		φ = 1.42293184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12494689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.750488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42293184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.527989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2651 KachelY 1405 -2.12494689 1.42293184 -121.750488 81.527989
    Oben rechts KachelX + 1 2652 KachelY 1405 -2.12456339 1.42293184 -121.728516 81.527989
    Unten links KachelX 2651 KachelY + 1 1406 -2.12494689 1.42287533 -121.750488 81.524751
    Unten rechts KachelX + 1 2652 KachelY + 1 1406 -2.12456339 1.42287533 -121.728516 81.524751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42293184-1.42287533) × R
    5.65099999998431e-05 × 6371000     		dl = 360.025209999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42293184-1.42287533) × R
    5.65099999998431e-05 × 6371000     		dr = 360.025209999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12494689--2.12456339) × cos(1.42293184) × R
    0.00038349999999987 × 0.14732625963481 × 6371000     		do = 359.959082651028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12494689--2.12456339) × cos(1.42287533) × R
    0.00038349999999987 × 0.147382152759612 × 6371000     		du = 360.095645121152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42293184)-sin(1.42287533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14732625963481-0.147382152759612)×R²
    abs(-2.12456339--2.12494689)×5.5893124801254e-05×R²
    0.00038349999999987×5.5893124801254e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.5893124801254e-05×40589641000000     		ar = 129618.927322256m²