Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26509 / 51103
↖ ↑ ↗
← S 70.434959°
W 34.381714°		 ← 204.54 m → S 70.434959°
W 34.376221°		 →
↑
204.51 m
↓
↑
204.51 m
↓
S 70.436799°
W 34.381714°		 ← 204.52 m →
41 828 m²		 S 70.436799°
W 34.376221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404502868652344 y=0.779777526855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404502868652344 × 216)
    floor (0.404502868652344 × 65536)
    floor (26509.5)     		tx = 26509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779777526855469 × 216)
    floor (0.779777526855469 × 65536)
    floor (51103.5)     		ty = 51103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26509 / 51103 ti = "16/26509/51103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26509/51103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26509 ÷ 216
    26509 ÷ 65536     		x = 0.404495239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51103 ÷ 216
    51103 ÷ 65536     		y = 0.779769897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404495239257812 × 2 - 1) × π
    -0.191009521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.60007411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779769897460938 × 2 - 1) × π
    -0.559539794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75784610906746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60007411} λ = -0.60007411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75784610906746))-π/2
    2×atan(0.172415829061144)-π/2
    2×0.170737188657544-π/2
    0.341474377315088-1.57079632675     		φ = -1.22932195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60007411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.381714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22932195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.434959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26509 KachelY 51103 -0.60007411 -1.22932195 -34.381714 -70.434959
    Oben rechts KachelX + 1 26510 KachelY 51103 -0.59997824 -1.22932195 -34.376221 -70.434959
    Unten links KachelX 26509 KachelY + 1 51104 -0.60007411 -1.22935405 -34.381714 -70.436799
    Unten rechts KachelX + 1 26510 KachelY + 1 51104 -0.59997824 -1.22935405 -34.376221 -70.436799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22932195--1.22935405) × R
    3.20999999998683e-05 × 6371000     		dl = 204.509099999161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22932195--1.22935405) × R
    3.20999999998683e-05 × 6371000     		dr = 204.509099999161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60007411--0.59997824) × cos(-1.22932195) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.334876704774489 × 6371000     		do = 204.538595734154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60007411--0.59997824) × cos(-1.22935405) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.334846457993195 × 6371000     		du = 204.520121370058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22932195)-sin(-1.22935405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334876704774489-0.334846457993195)×R²
    abs(-0.59997824--0.60007411)×3.02467812932639e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.02467812932639e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.02467812932639e-05×40589641000000     		ar = 41828.1150442439m²