Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26508 / 10871
↖ ↑ ↗
← N 51.679368°
E111.225586°		 ← 757.45 m → N 51.679368°
E111.236572°		 →
↑
757.51 m
↓
↑
757.51 m
↓
N 51.672555°
E111.225586°		 ← 757.57 m →
573 822 m²		 N 51.672555°
E111.236572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808975219726562 y=0.331771850585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808975219726562 × 215)
    floor (0.808975219726562 × 32768)
    floor (26508.5)     		tx = 26508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331771850585938 × 215)
    floor (0.331771850585938 × 32768)
    floor (10871.5)     		ty = 10871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26508 / 10871 ti = "15/26508/10871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26508/10871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26508 ÷ 215
    26508 ÷ 32768     		x = 0.8089599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10871 ÷ 215
    10871 ÷ 32768     		y = 0.331756591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8089599609375 × 2 - 1) × π
    0.617919921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.94125269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331756591796875 × 2 - 1) × π
    0.33648681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05710451042148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94125269} λ = 1.94125269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05710451042148))-π/2
    2×atan(2.87802561994427)-π/2
    2×1.2363857256489-π/2
    2.47277145129781-1.57079632675     		φ = 0.90197512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94125269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.225586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90197512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.679368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26508 KachelY 10871 1.94125269 0.90197512 111.225586 51.679368
    Oben rechts KachelX + 1 26509 KachelY 10871 1.94144443 0.90197512 111.236572 51.679368
    Unten links KachelX 26508 KachelY + 1 10872 1.94125269 0.90185622 111.225586 51.672555
    Unten rechts KachelX + 1 26509 KachelY + 1 10872 1.94144443 0.90185622 111.236572 51.672555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90197512-0.90185622) × R
    0.000118900000000033 × 6371000     		dl = 757.511900000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90197512-0.90185622) × R
    0.000118900000000033 × 6371000     		dr = 757.511900000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94125269-1.94144443) × cos(0.90197512) × R
    0.000191739999999996 × 0.620061592150238 × 6371000     		do = 757.45207426417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94125269-1.94144443) × cos(0.90185622) × R
    0.000191739999999996 × 0.620154871134822 × 6371000     		du = 757.566021590134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90197512)-sin(0.90185622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620061592150238-0.620154871134822)×R²
    abs(1.94144443-1.94125269)×9.32789845841109e-05×R²
    0.000191739999999996×9.32789845841109e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.32789845841109e-05×40589641000000     		ar = 573822.118838155m²