Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26504 / 25016
↖ ↑ ↗
← S 68.366801°
E111.181641°		 ← 450.35 m → S 68.366801°
E111.192627°		 →
↑
450.30 m
↓
↑
450.30 m
↓
S 68.370851°
E111.181641°		 ← 450.27 m →
202 776 m²		 S 68.370851°
E111.192627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808853149414062 y=0.763442993164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808853149414062 × 215)
    floor (0.808853149414062 × 32768)
    floor (26504.5)     		tx = 26504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763442993164062 × 215)
    floor (0.763442993164062 × 32768)
    floor (25016.5)     		ty = 25016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26504 / 25016 ti = "15/26504/25016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26504/25016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26504 ÷ 215
    26504 ÷ 32768     		x = 0.808837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25016 ÷ 215
    25016 ÷ 32768     		y = 0.763427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808837890625 × 2 - 1) × π
    0.61767578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94048570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763427734375 × 2 - 1) × π
    -0.52685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6551652700813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94048570} λ = 1.94048570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6551652700813))-π/2
    2×atan(0.191060476515502)-π/2
    2×0.188785274333738-π/2
    0.377570548667477-1.57079632675     		φ = -1.19322578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94048570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.181641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19322578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.366801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26504 KachelY 25016 1.94048570 -1.19322578 111.181641 -68.366801
    Oben rechts KachelX + 1 26505 KachelY 25016 1.94067744 -1.19322578 111.192627 -68.366801
    Unten links KachelX 26504 KachelY + 1 25017 1.94048570 -1.19329646 111.181641 -68.370851
    Unten rechts KachelX + 1 26505 KachelY + 1 25017 1.94067744 -1.19329646 111.192627 -68.370851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19322578--1.19329646) × R
    7.06800000001007e-05 × 6371000     		dl = 450.302280000641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19322578--1.19329646) × R
    7.06800000001007e-05 × 6371000     		dr = 450.302280000641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94048570-1.94067744) × cos(-1.19322578) × R
    0.000191739999999996 × 0.368663229726192 × 6371000     		do = 450.349983930907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94048570-1.94067744) × cos(-1.19329646) × R
    0.000191739999999996 × 0.368597527290568 × 6371000     		du = 450.269723442631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19322578)-sin(-1.19329646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368663229726192-0.368597527290568)×R²
    abs(1.94067744-1.94048570)×6.57024356238156e-05×R²
    0.000191739999999996×6.57024356238156e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.57024356238156e-05×40589641000000     		ar = 202775.553906052m²