Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26502 / 51101
↖ ↑ ↗
← S 70.431280°
W 34.420166°		 ← 204.60 m → S 70.431280°
W 34.414673°		 →
↑
204.57 m
↓
↑
204.57 m
↓
S 70.433120°
W 34.420166°		 ← 204.58 m →
41 853 m²		 S 70.433120°
W 34.414673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404396057128906 y=0.779747009277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404396057128906 × 216)
    floor (0.404396057128906 × 65536)
    floor (26502.5)     		tx = 26502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779747009277344 × 216)
    floor (0.779747009277344 × 65536)
    floor (51101.5)     		ty = 51101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26502 / 51101 ti = "16/26502/51101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26502/51101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26502 ÷ 216
    26502 ÷ 65536     		x = 0.404388427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51101 ÷ 216
    51101 ÷ 65536     		y = 0.779739379882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404388427734375 × 2 - 1) × π
    -0.19122314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60074523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779739379882812 × 2 - 1) × π
    -0.559478759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75765436146898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60074523} λ = -0.60074523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75765436146898))-π/2
    2×atan(0.172448892552128)-π/2
    2×0.170769297460098-π/2
    0.341538594920196-1.57079632675     		φ = -1.22925773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60074523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.420166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22925773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.431280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26502 KachelY 51101 -0.60074523 -1.22925773 -34.420166 -70.431280
    Oben rechts KachelX + 1 26503 KachelY 51101 -0.60064935 -1.22925773 -34.414673 -70.431280
    Unten links KachelX 26502 KachelY + 1 51102 -0.60074523 -1.22928984 -34.420166 -70.433120
    Unten rechts KachelX + 1 26503 KachelY + 1 51102 -0.60064935 -1.22928984 -34.414673 -70.433120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22925773--1.22928984) × R
    3.21100000000296e-05 × 6371000     		dl = 204.572810000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22925773--1.22928984) × R
    3.21100000000296e-05 × 6371000     		dr = 204.572810000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60074523--0.60064935) × cos(-1.22925773) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.334937216146672 × 6371000     		do = 204.596894190378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60074523--0.60064935) × cos(-1.22928984) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.334906960633234 × 6371000     		du = 204.578412565215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22925773)-sin(-1.22928984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334937216146672-0.334906960633234)×R²
    abs(-0.60064935--0.60074523)×3.0255513438604e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.0255513438604e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.0255513438604e-05×40589641000000     		ar = 41853.0711464758m²