Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26502 / 25014
↖ ↑ ↗
← S 68.358699°
E111.159668°		 ← 450.53 m → S 68.358699°
E111.170654°		 →
↑
450.49 m
↓
↑
450.49 m
↓
S 68.362750°
E111.159668°		 ← 450.45 m →
202 945 m²		 S 68.362750°
E111.170654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808792114257812 y=0.763381958007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808792114257812 × 215)
    floor (0.808792114257812 × 32768)
    floor (26502.5)     		tx = 26502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763381958007812 × 215)
    floor (0.763381958007812 × 32768)
    floor (25014.5)     		ty = 25014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26502 / 25014 ti = "15/26502/25014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26502/25014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26502 ÷ 215
    26502 ÷ 32768     		x = 0.80877685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25014 ÷ 215
    25014 ÷ 32768     		y = 0.76336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80877685546875 × 2 - 1) × π
    0.6175537109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.94010220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76336669921875 × 2 - 1) × π
    -0.5267333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65478177488434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94010220} λ = 1.94010220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65478177488434))-π/2
    2×atan(0.191133761341866)-π/2
    2×0.188855977224224-π/2
    0.377711954448447-1.57079632675     		φ = -1.19308437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94010220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.159668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19308437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.358699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26502 KachelY 25014 1.94010220 -1.19308437 111.159668 -68.358699
    Oben rechts KachelX + 1 26503 KachelY 25014 1.94029395 -1.19308437 111.170654 -68.358699
    Unten links KachelX 26502 KachelY + 1 25015 1.94010220 -1.19315508 111.159668 -68.362750
    Unten rechts KachelX + 1 26503 KachelY + 1 25015 1.94029395 -1.19315508 111.170654 -68.362750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19308437--1.19315508) × R
    7.07099999999183e-05 × 6371000     		dl = 450.49340999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19308437--1.19315508) × R
    7.07099999999183e-05 × 6371000     		dr = 450.49340999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94010220-1.94029395) × cos(-1.19308437) × R
    0.000191749999999935 × 0.368794675547505 × 6371000     		do = 450.534050839695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94010220-1.94029395) × cos(-1.19315508) × R
    0.000191749999999935 × 0.368728948910838 × 6371000     		du = 450.453756600572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19308437)-sin(-1.19315508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368794675547505-0.368728948910838)×R²
    abs(1.94029395-1.94010220)×6.57266366668741e-05×R²
    0.000191749999999935×6.57266366668741e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.57266366668741e-05×40589641000000     		ar = 202944.534955317m²