Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26500 / 51098
↖ ↑ ↗
← S 70.425759°
W 34.431152°		 ← 204.63 m → S 70.425759°
W 34.425659°		 →
↑
204.64 m
↓
↑
204.64 m
↓
S 70.427600°
W 34.431152°		 ← 204.61 m →
41 873 m²		 S 70.427600°
W 34.425659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404365539550781 y=0.779701232910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404365539550781 × 216)
    floor (0.404365539550781 × 65536)
    floor (26500.5)     		tx = 26500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779701232910156 × 216)
    floor (0.779701232910156 × 65536)
    floor (51098.5)     		ty = 51098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26500 / 51098 ti = "16/26500/51098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26500/51098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26500 ÷ 216
    26500 ÷ 65536     		x = 0.40435791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51098 ÷ 216
    51098 ÷ 65536     		y = 0.779693603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40435791015625 × 2 - 1) × π
    -0.1912841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.60093697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779693603515625 × 2 - 1) × π
    -0.55938720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75736674007126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60093697} λ = -0.60093697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75736674007126))-π/2
    2×atan(0.172498499677332)-π/2
    2×0.170817471542396-π/2
    0.341634943084792-1.57079632675     		φ = -1.22916138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60093697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.431152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22916138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.425759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26500 KachelY 51098 -0.60093697 -1.22916138 -34.431152 -70.425759
    Oben rechts KachelX + 1 26501 KachelY 51098 -0.60084110 -1.22916138 -34.425659 -70.425759
    Unten links KachelX 26500 KachelY + 1 51099 -0.60093697 -1.22919350 -34.431152 -70.427600
    Unten rechts KachelX + 1 26501 KachelY + 1 51099 -0.60084110 -1.22919350 -34.425659 -70.427600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22916138--1.22919350) × R
    3.21199999999688e-05 × 6371000     		dl = 204.636519999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22916138--1.22919350) × R
    3.21199999999688e-05 × 6371000     		dr = 204.636519999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60093697--0.60084110) × cos(-1.22916138) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.335027999459001 × 6371000     		do = 204.63100467712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60093697--0.60084110) × cos(-1.22919350) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.334997735559695 × 6371000     		du = 204.612519857551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22916138)-sin(-1.22919350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335027999459001-0.334997735559695)×R²
    abs(-0.60084110--0.60093697)×3.02638993059934e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.02638993059934e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.02638993059934e-05×40589641000000     		ar = 41873.0853501327m²