Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26500 / 11067
↖ ↑ ↗
← N 50.324423°
E111.137696°		 ← 779.90 m → N 50.324423°
E111.148681°		 →
↑
780 m
↓
↑
780 m
↓
N 50.317408°
E111.137696°		 ← 780.02 m →
608 370 m²		 N 50.317408°
E111.148681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808731079101562 y=0.337753295898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808731079101562 × 215)
    floor (0.808731079101562 × 32768)
    floor (26500.5)     		tx = 26500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337753295898438 × 215)
    floor (0.337753295898438 × 32768)
    floor (11067.5)     		ty = 11067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26500 / 11067 ti = "15/26500/11067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26500/11067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26500 ÷ 215
    26500 ÷ 32768     		x = 0.8087158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11067 ÷ 215
    11067 ÷ 32768     		y = 0.337738037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8087158203125 × 2 - 1) × π
    0.617431640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.93971871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337738037109375 × 2 - 1) × π
    0.32452392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01952198111935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93971871} λ = 1.93971871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01952198111935))-π/2
    2×atan(2.77186944129728)-π/2
    2×1.22456159887137-π/2
    2.44912319774275-1.57079632675     		φ = 0.87832687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93971871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.137696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87832687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.324423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26500 KachelY 11067 1.93971871 0.87832687 111.137696 50.324423
    Oben rechts KachelX + 1 26501 KachelY 11067 1.93991045 0.87832687 111.148681 50.324423
    Unten links KachelX 26500 KachelY + 1 11068 1.93971871 0.87820444 111.137696 50.317408
    Unten rechts KachelX + 1 26501 KachelY + 1 11068 1.93991045 0.87820444 111.148681 50.317408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87832687-0.87820444) × R
    0.000122430000000007 × 6371000     		dl = 780.001530000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87832687-0.87820444) × R
    0.000122430000000007 × 6371000     		dr = 780.001530000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93971871-1.93991045) × cos(0.87832687) × R
    0.000191739999999996 × 0.638439798128602 × 6371000     		do = 779.902441156421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93971871-1.93991045) × cos(0.87820444) × R
    0.000191739999999996 × 0.638534024257602 × 6371000     		du = 780.017545490836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87832687)-sin(0.87820444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638439798128602-0.638534024257602)×R²
    abs(1.93991045-1.93971871)×9.42261289998969e-05×R²
    0.000191739999999996×9.42261289998969e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.42261289998969e-05×40589641000000     		ar = 608369.988890934m²