Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 265 / 241
↖ ↑ ↗
← N 79.655668°
W133.417969°		 ← 3 509.75 m → N 79.655668°
W133.242187°		 →
↑
3 515.01 m
↓
↑
3 515.01 m
↓
N 79.624057°
W133.417969°		 ← 3 520.36 m →
12 355 456 m²		 N 79.624057°
W133.242187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129638671875 y=0.117919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129638671875 × 211)
    floor (0.129638671875 × 2048)
    floor (265.5)     		tx = 265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117919921875 × 211)
    floor (0.117919921875 × 2048)
    floor (241.5)     		ty = 241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 265 / 241 ti = "11/265/241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/265/241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 265 ÷ 211
    265 ÷ 2048     		x = 0.12939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 241 ÷ 211
    241 ÷ 2048     		y = 0.11767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12939453125 × 2 - 1) × π
    -0.7412109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32858284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11767578125 × 2 - 1) × π
    0.7646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.40221391376025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32858284} λ = -2.32858284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40221391376025))-π/2
    2×atan(11.0476077770357)-π/2
    2×1.48052499936059-π/2
    2.96104999872118-1.57079632675     		φ = 1.39025367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32858284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.417969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39025367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.655668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 265 KachelY 241 -2.32858284 1.39025367 -133.417969 79.655668
    Oben rechts KachelX + 1 266 KachelY 241 -2.32551487 1.39025367 -133.242187 79.655668
    Unten links KachelX 265 KachelY + 1 242 -2.32858284 1.38970195 -133.417969 79.624057
    Unten rechts KachelX + 1 266 KachelY + 1 242 -2.32551487 1.38970195 -133.242187 79.624057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39025367-1.38970195) × R
    0.000551720000000033 × 6371000     		dl = 3515.00812000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39025367-1.38970195) × R
    0.000551720000000033 × 6371000     		dr = 3515.00812000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32858284--2.32551487) × cos(1.39025367) × R
    0.00306797000000003 × 0.179563436504638 × 6371000     		do = 3509.75355042358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32858284--2.32551487) × cos(1.38970195) × R
    0.00306797000000003 × 0.180106161709778 × 6371000     		du = 3520.36167729353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39025367)-sin(1.38970195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179563436504638-0.180106161709778)×R²
    abs(-2.32551487--2.32858284)×0.000542725205140288×R²
    0.00306797000000003×0.000542725205140288×6371000²
    0.00306797000000003×0.000542725205140288×40589641000000     		ar = 12355456.3683875m²