Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26499 / 51107
↖ ↑ ↗
← S 70.442316°
W 34.436646°		 ← 204.49 m → S 70.442316°
W 34.431152°		 →
↑
204.45 m
↓
↑
204.45 m
↓
S 70.444155°
W 34.436646°		 ← 204.47 m →
41 804 m²		 S 70.444155°
W 34.431152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404350280761719 y=0.779838562011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404350280761719 × 216)
    floor (0.404350280761719 × 65536)
    floor (26499.5)     		tx = 26499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779838562011719 × 216)
    floor (0.779838562011719 × 65536)
    floor (51107.5)     		ty = 51107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26499 / 51107 ti = "16/26499/51107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26499/51107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26499 ÷ 216
    26499 ÷ 65536     		x = 0.404342651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51107 ÷ 216
    51107 ÷ 65536     		y = 0.779830932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404342651367188 × 2 - 1) × π
    -0.191314697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60103285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779830932617188 × 2 - 1) × π
    -0.559661865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75822960426442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60103285} λ = -0.60103285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75822960426442))-π/2
    2×atan(0.172349721095673)-π/2
    2×0.170672988453864-π/2
    0.341345976907727-1.57079632675     		φ = -1.22945035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60103285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.436646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22945035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.442316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26499 KachelY 51107 -0.60103285 -1.22945035 -34.436646 -70.442316
    Oben rechts KachelX + 1 26500 KachelY 51107 -0.60093697 -1.22945035 -34.431152 -70.442316
    Unten links KachelX 26499 KachelY + 1 51108 -0.60103285 -1.22948244 -34.436646 -70.444155
    Unten rechts KachelX + 1 26500 KachelY + 1 51108 -0.60093697 -1.22948244 -34.431152 -70.444155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22945035--1.22948244) × R
    3.20899999999291e-05 × 6371000     		dl = 204.445389999548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22945035--1.22948244) × R
    3.20899999999291e-05 × 6371000     		dr = 204.445389999548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60103285--0.60093697) × cos(-1.22945035) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.334755715579265 × 6371000     		do = 204.486024299919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60103285--0.60093697) × cos(-1.22948244) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.334725476841199 × 6371000     		du = 204.467552922018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22945035)-sin(-1.22948244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334755715579265-0.334725476841199)×R²
    abs(-0.60093697--0.60103285)×3.02387380659574e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.02387380659574e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.02387380659574e-05×40589641000000     		ar = 41804.3367968405m²