Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26499 / 13181
↖ ↑ ↗
← N 33.165145°
E111.126709°		 ← 1 022.63 m → N 33.165145°
E111.137696°		 →
↑
1 022.67 m
↓
↑
1 022.67 m
↓
N 33.155948°
E111.126709°		 ← 1 022.74 m →
1 045 872 m²		 N 33.155948°
E111.137696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808700561523438 y=0.402267456054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808700561523438 × 215)
    floor (0.808700561523438 × 32768)
    floor (26499.5)     		tx = 26499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402267456054688 × 215)
    floor (0.402267456054688 × 32768)
    floor (13181.5)     		ty = 13181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26499 / 13181 ti = "15/26499/13181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26499/13181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26499 ÷ 215
    26499 ÷ 32768     		x = 0.808685302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13181 ÷ 215
    13181 ÷ 32768     		y = 0.402252197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808685302734375 × 2 - 1) × π
    0.61737060546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.93952696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402252197265625 × 2 - 1) × π
    0.19549560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.614167557932159
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93952696} λ = 1.93952696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.614167557932159))-π/2
    2×atan(1.84811750828483)-π/2
    2×1.07481865552834-π/2
    2.14963731105667-1.57079632675     		φ = 0.57884098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93952696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.126709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57884098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.165145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26499 KachelY 13181 1.93952696 0.57884098 111.126709 33.165145
    Oben rechts KachelX + 1 26500 KachelY 13181 1.93971871 0.57884098 111.137696 33.165145
    Unten links KachelX 26499 KachelY + 1 13182 1.93952696 0.57868046 111.126709 33.155948
    Unten rechts KachelX + 1 26500 KachelY + 1 13182 1.93971871 0.57868046 111.137696 33.155948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57884098-0.57868046) × R
    0.000160519999999997 × 6371000     		dl = 1022.67291999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57884098-0.57868046) × R
    0.000160519999999997 × 6371000     		dr = 1022.67291999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93952696-1.93971871) × cos(0.57884098) × R
    0.000191749999999935 × 0.837097258654682 × 6371000     		do = 1022.63086723961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93952696-1.93971871) × cos(0.57868046) × R
    0.000191749999999935 × 0.837185060992545 × 6371000     		du = 1022.73813002179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57884098)-sin(0.57868046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837097258654682-0.837185060992545)×R²
    abs(1.93971871-1.93952696)×8.78023378630965e-05×R²
    0.000191749999999935×8.78023378630965e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.78023378630965e-05×40589641000000     		ar = 1045871.74469895m²