Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26498 / 13188
↖ ↑ ↗
← N 33.100745°
E111.115723°		 ← 1 023.38 m → N 33.100745°
E111.126709°		 →
↑
1 023.44 m
↓
↑
1 023.44 m
↓
N 33.091541°
E111.115723°		 ← 1 023.49 m →
1 047 422 m²		 N 33.091541°
E111.126709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808670043945312 y=0.402481079101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808670043945312 × 215)
    floor (0.808670043945312 × 32768)
    floor (26498.5)     		tx = 26498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402481079101562 × 215)
    floor (0.402481079101562 × 32768)
    floor (13188.5)     		ty = 13188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26498 / 13188 ti = "15/26498/13188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26498/13188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26498 ÷ 215
    26498 ÷ 32768     		x = 0.80865478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13188 ÷ 215
    13188 ÷ 32768     		y = 0.4024658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80865478515625 × 2 - 1) × π
    0.6173095703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.93933521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4024658203125 × 2 - 1) × π
    0.195068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.612825324742798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93933521} λ = 1.93933521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.612825324742798))-π/2
    2×atan(1.84563856765774)-π/2
    2×1.07425665948219-π/2
    2.14851331896437-1.57079632675     		φ = 0.57771699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93933521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.115723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57771699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.100745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26498 KachelY 13188 1.93933521 0.57771699 111.115723 33.100745
    Oben rechts KachelX + 1 26499 KachelY 13188 1.93952696 0.57771699 111.126709 33.100745
    Unten links KachelX 26498 KachelY + 1 13189 1.93933521 0.57755635 111.115723 33.091541
    Unten rechts KachelX + 1 26499 KachelY + 1 13189 1.93952696 0.57755635 111.126709 33.091541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57771699-0.57755635) × R
    0.000160639999999934 × 6371000     		dl = 1023.43743999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57771699-0.57755635) × R
    0.000160639999999934 × 6371000     		dr = 1023.43743999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93933521-1.93952696) × cos(0.57771699) × R
    0.000191749999999935 × 0.837711613079229 × 6371000     		do = 1023.38138671805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93933521-1.93952696) × cos(0.57755635) × R
    0.000191749999999935 × 0.837799329839646 × 6371000     		du = 1023.48854495546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57771699)-sin(0.57755635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837711613079229-0.837799329839646)×R²
    abs(1.93952696-1.93933521)×8.77167604168561e-05×R²
    0.000191749999999935×8.77167604168561e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.77167604168561e-05×40589641000000     		ar = 1047421.66369448m²