Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26498 / 11231
↖ ↑ ↗
← N 49.160155°
E111.115723°		 ← 798.89 m → N 49.160155°
E111.126709°		 →
↑
798.92 m
↓
↑
798.92 m
↓
N 49.152970°
E111.115723°		 ← 799 m →
638 296 m²		 N 49.152970°
E111.126709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808670043945312 y=0.342758178710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808670043945312 × 215)
    floor (0.808670043945312 × 32768)
    floor (26498.5)     		tx = 26498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342758178710938 × 215)
    floor (0.342758178710938 × 32768)
    floor (11231.5)     		ty = 11231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26498 / 11231 ti = "15/26498/11231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26498/11231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26498 ÷ 215
    26498 ÷ 32768     		x = 0.80865478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11231 ÷ 215
    11231 ÷ 32768     		y = 0.342742919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80865478515625 × 2 - 1) × π
    0.6173095703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.93933521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342742919921875 × 2 - 1) × π
    0.31451416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.988075374968597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93933521} λ = 1.93933521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.988075374968597))-π/2
    2×atan(2.68605983633272)-π/2
    2×1.21440144312467-π/2
    2.42880288624933-1.57079632675     		φ = 0.85800656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93933521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.115723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85800656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.160155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26498 KachelY 11231 1.93933521 0.85800656 111.115723 49.160155
    Oben rechts KachelX + 1 26499 KachelY 11231 1.93952696 0.85800656 111.126709 49.160155
    Unten links KachelX 26498 KachelY + 1 11232 1.93933521 0.85788116 111.115723 49.152970
    Unten rechts KachelX + 1 26499 KachelY + 1 11232 1.93952696 0.85788116 111.126709 49.152970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85800656-0.85788116) × R
    0.000125399999999942 × 6371000     		dl = 798.923399999632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85800656-0.85788116) × R
    0.000125399999999942 × 6371000     		dr = 798.923399999632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93933521-1.93952696) × cos(0.85800656) × R
    0.000191749999999935 × 0.653946884513518 × 6371000     		do = 798.88718153666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93933521-1.93952696) × cos(0.85788116) × R
    0.000191749999999935 × 0.654041749545626 × 6371000     		du = 799.003072383336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85800656)-sin(0.85788116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653946884513518-0.654041749545626)×R²
    abs(1.93952696-1.93933521)×9.48650321083155e-05×R²
    0.000191749999999935×9.48650321083155e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.48650321083155e-05×40589641000000     		ar = 638295.958080599m²