Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26497 / 46985
↖ ↑ ↗
← S 61.293988°
W 34.447632°		 ← 293.40 m → S 61.293988°
W 34.442139°		 →
↑
293.38 m
↓
↑
293.38 m
↓
S 61.296626°
W 34.447632°		 ← 293.38 m →
86 076 m²		 S 61.296626°
W 34.442139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404319763183594 y=0.716941833496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404319763183594 × 216)
    floor (0.404319763183594 × 65536)
    floor (26497.5)     		tx = 26497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716941833496094 × 216)
    floor (0.716941833496094 × 65536)
    floor (46985.5)     		ty = 46985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26497 / 46985 ti = "16/26497/46985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26497/46985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26497 ÷ 216
    26497 ÷ 65536     		x = 0.404312133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46985 ÷ 216
    46985 ÷ 65536     		y = 0.716934204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404312133789062 × 2 - 1) × π
    -0.191375732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.60122460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716934204101562 × 2 - 1) × π
    -0.433868408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.36303780379668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60122460} λ = -0.60122460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36303780379668))-π/2
    2×atan(0.255882274937742)-π/2
    2×0.250507213615148-π/2
    0.501014427230296-1.57079632675     		φ = -1.06978190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60122460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.447632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06978190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.293988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26497 KachelY 46985 -0.60122460 -1.06978190 -34.447632 -61.293988
    Oben rechts KachelX + 1 26498 KachelY 46985 -0.60112872 -1.06978190 -34.442139 -61.293988
    Unten links KachelX 26497 KachelY + 1 46986 -0.60122460 -1.06982795 -34.447632 -61.296626
    Unten rechts KachelX + 1 26498 KachelY + 1 46986 -0.60112872 -1.06982795 -34.442139 -61.296626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06978190--1.06982795) × R
    4.60500000001307e-05 × 6371000     		dl = 293.384550000833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06978190--1.06982795) × R
    4.60500000001307e-05 × 6371000     		dr = 293.384550000833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60122460--0.60112872) × cos(-1.06978190) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.480315535037819 × 6371000     		do = 293.401455444991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60122460--0.60112872) × cos(-1.06982795) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.480275144268423 × 6371000     		du = 293.376782683727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06978190)-sin(-1.06982795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480315535037819-0.480275144268423)×R²
    abs(-0.60112872--0.60122460)×4.03907693960481e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.03907693960481e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.03907693960481e-05×40589641000000     		ar = 86075.834687273m²