Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26497 / 13191
↖ ↑ ↗
← N 33.073131°
E111.104736°		 ← 1 023.70 m → N 33.073131°
E111.115723°		 →
↑
1 023.76 m
↓
↑
1 023.76 m
↓
N 33.063924°
E111.104736°		 ← 1 023.81 m →
1 048 077 m²		 N 33.063924°
E111.115723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808639526367188 y=0.402572631835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808639526367188 × 215)
    floor (0.808639526367188 × 32768)
    floor (26497.5)     		tx = 26497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402572631835938 × 215)
    floor (0.402572631835938 × 32768)
    floor (13191.5)     		ty = 13191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26497 / 13191 ti = "15/26497/13191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26497/13191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26497 ÷ 215
    26497 ÷ 32768     		x = 0.808624267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13191 ÷ 215
    13191 ÷ 32768     		y = 0.402557373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808624267578125 × 2 - 1) × π
    0.61724853515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.93914346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402557373046875 × 2 - 1) × π
    0.19488525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.612250081947357
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93914346} λ = 1.93914346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.612250081947357))-π/2
    2×atan(1.844577182675)-π/2
    2×1.07401567785691-π/2
    2.14803135571382-1.57079632675     		φ = 0.57723503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93914346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.104736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57723503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.073131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26497 KachelY 13191 1.93914346 0.57723503 111.104736 33.073131
    Oben rechts KachelX + 1 26498 KachelY 13191 1.93933521 0.57723503 111.115723 33.073131
    Unten links KachelX 26497 KachelY + 1 13192 1.93914346 0.57707434 111.104736 33.063924
    Unten rechts KachelX + 1 26498 KachelY + 1 13192 1.93933521 0.57707434 111.115723 33.063924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57723503-0.57707434) × R
    0.000160689999999963 × 6371000     		dl = 1023.75598999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57723503-0.57707434) × R
    0.000160689999999963 × 6371000     		dr = 1023.75598999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93914346-1.93933521) × cos(0.57723503) × R
    0.000191750000000157 × 0.837974720327818 × 6371000     		do = 1023.70280886107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93914346-1.93933521) × cos(0.57707434) × R
    0.000191750000000157 × 0.83806239949602 × 6371000     		du = 1023.80992117436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57723503)-sin(0.57707434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837974720327818-0.83806239949602)×R²
    abs(1.93933521-1.93914346)×8.76791682025146e-05×R²
    0.000191750000000157×8.76791682025146e-05×6371000²
    0.000191750000000157×8.76791682025146e-05×40589641000000     		ar = 1048076.71324196m²