Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26496 / 46983
↖ ↑ ↗
← S 61.288710°
W 34.453125°		 ← 293.42 m → S 61.288710°
W 34.447632°		 →
↑
293.45 m
↓
↑
293.45 m
↓
S 61.291349°
W 34.453125°		 ← 293.40 m →
86 100 m²		 S 61.291349°
W 34.447632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404304504394531 y=0.716911315917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404304504394531 × 216)
    floor (0.404304504394531 × 65536)
    floor (26496.5)     		tx = 26496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716911315917969 × 216)
    floor (0.716911315917969 × 65536)
    floor (46983.5)     		ty = 46983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26496 / 46983 ti = "16/26496/46983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26496/46983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26496 ÷ 216
    26496 ÷ 65536     		x = 0.404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46983 ÷ 216
    46983 ÷ 65536     		y = 0.716903686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404296875 × 2 - 1) × π
    -0.19140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60132047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716903686523438 × 2 - 1) × π
    -0.433807373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.3628460561982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60132047} λ = -0.60132047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3628460561982))-π/2
    2×atan(0.255931344453786)-π/2
    2×0.250553267162855-π/2
    0.50110653432571-1.57079632675     		φ = -1.06968979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60132047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06968979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.288710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26496 KachelY 46983 -0.60132047 -1.06968979 -34.453125 -61.288710
    Oben rechts KachelX + 1 26497 KachelY 46983 -0.60122460 -1.06968979 -34.447632 -61.288710
    Unten links KachelX 26496 KachelY + 1 46984 -0.60132047 -1.06973585 -34.453125 -61.291349
    Unten rechts KachelX + 1 26497 KachelY + 1 46984 -0.60122460 -1.06973585 -34.447632 -61.291349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06968979--1.06973585) × R
    4.60600000000699e-05 × 6371000     		dl = 293.448260000446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06968979--1.06973585) × R
    4.60600000000699e-05 × 6371000     		dr = 293.448260000446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60132047--0.60122460) × cos(-1.06968979) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.480396322291365 × 6371000     		do = 293.420198408538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60132047--0.60122460) × cos(-1.06973585) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.480355924788656 × 6371000     		du = 293.395524107945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06968979)-sin(-1.06973585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480396322291365-0.480355924788656)×R²
    abs(-0.60122460--0.60132047)×4.03975027089554e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.03975027089554e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.03975027089554e-05×40589641000000     		ar = 86100.0263720255m²