Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26495 / 51074
↖ ↑ ↗
← S 70.381543°
W 34.458618°		 ← 205.08 m → S 70.381543°
W 34.453125°		 →
↑
205.08 m
↓
↑
205.08 m
↓
S 70.383387°
W 34.458618°		 ← 205.06 m →
42 055 m²		 S 70.383387°
W 34.453125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404289245605469 y=0.779335021972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404289245605469 × 216)
    floor (0.404289245605469 × 65536)
    floor (26495.5)     		tx = 26495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779335021972656 × 216)
    floor (0.779335021972656 × 65536)
    floor (51074.5)     		ty = 51074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26495 / 51074 ti = "16/26495/51074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26495/51074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26495 ÷ 216
    26495 ÷ 65536     		x = 0.404281616210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51074 ÷ 216
    51074 ÷ 65536     		y = 0.779327392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404281616210938 × 2 - 1) × π
    -0.191436767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60141634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779327392578125 × 2 - 1) × π
    -0.55865478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7550657688895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60141634} λ = -0.60141634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7550657688895))-π/2
    2×atan(0.172895870748356)-π/2
    2×0.17120333450919-π/2
    0.342406669018379-1.57079632675     		φ = -1.22838966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60141634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.458618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22838966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.381543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26495 KachelY 51074 -0.60141634 -1.22838966 -34.458618 -70.381543
    Oben rechts KachelX + 1 26496 KachelY 51074 -0.60132047 -1.22838966 -34.453125 -70.381543
    Unten links KachelX 26495 KachelY + 1 51075 -0.60141634 -1.22842185 -34.458618 -70.383387
    Unten rechts KachelX + 1 26496 KachelY + 1 51075 -0.60132047 -1.22842185 -34.453125 -70.383387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22838966--1.22842185) × R
    3.21899999999875e-05 × 6371000     		dl = 205.08248999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22838966--1.22842185) × R
    3.21899999999875e-05 × 6371000     		dr = 205.08248999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60141634--0.60132047) × cos(-1.22838966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.335755020514151 × 6371000     		do = 205.075060246138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60141634--0.60132047) × cos(-1.22842185) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.335724698990827 × 6371000     		du = 205.056540230524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22838966)-sin(-1.22842185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335755020514151-0.335724698990827)×R²
    abs(-0.60132047--0.60141634)×3.03215233242171e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.03215233242171e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.03215233242171e-05×40589641000000     		ar = 42055.4049304577m²