Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26495 / 13193
↖ ↑ ↗
← N 33.054717°
E111.082764°		 ← 1 023.92 m → N 33.054717°
E111.093750°		 →
↑
1 024.01 m
↓
↑
1 024.01 m
↓
N 33.045508°
E111.082764°		 ← 1 024.02 m →
1 048 557 m²		 N 33.045508°
E111.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808578491210938 y=0.402633666992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808578491210938 × 215)
    floor (0.808578491210938 × 32768)
    floor (26495.5)     		tx = 26495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402633666992188 × 215)
    floor (0.402633666992188 × 32768)
    floor (13193.5)     		ty = 13193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26495 / 13193 ti = "15/26495/13193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26495/13193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26495 ÷ 215
    26495 ÷ 32768     		x = 0.808563232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13193 ÷ 215
    13193 ÷ 32768     		y = 0.402618408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808563232421875 × 2 - 1) × π
    0.61712646484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93875997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402618408203125 × 2 - 1) × π
    0.19476318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.611866586750397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93875997} λ = 1.93875997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.611866586750397))-π/2
    2×atan(1.84386993180735)-π/2
    2×1.07385498140492-π/2
    2.14770996280984-1.57079632675     		φ = 0.57691364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93875997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.082764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57691364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.054717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26495 KachelY 13193 1.93875997 0.57691364 111.082764 33.054717
    Oben rechts KachelX + 1 26496 KachelY 13193 1.93895172 0.57691364 111.093750 33.054717
    Unten links KachelX 26495 KachelY + 1 13194 1.93875997 0.57675291 111.082764 33.045508
    Unten rechts KachelX + 1 26496 KachelY + 1 13194 1.93895172 0.57675291 111.093750 33.045508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57691364-0.57675291) × R
    0.000160730000000053 × 6371000     		dl = 1024.01083000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57691364-0.57675291) × R
    0.000160730000000053 × 6371000     		dr = 1024.01083000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93875997-1.93895172) × cos(0.57691364) × R
    0.000191749999999935 × 0.838150062478779 × 6371000     		do = 1023.91701371368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93875997-1.93895172) × cos(0.57675291) × R
    0.000191749999999935 × 0.83823772017589 × 6371000     		du = 1024.02409979704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57691364)-sin(0.57675291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838150062478779-0.83823772017589)×R²
    abs(1.93895172-1.93875997)×8.76576971110543e-05×R²
    0.000191749999999935×8.76576971110543e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.76576971110543e-05×40589641000000     		ar = 1048556.94197578m²