Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26495 / 13183
↖ ↑ ↗
← N 33.146750°
E111.082764°		 ← 1 022.85 m → N 33.146750°
E111.093750°		 →
↑
1 022.93 m
↓
↑
1 022.93 m
↓
N 33.137551°
E111.082764°		 ← 1 022.95 m →
1 046 352 m²		 N 33.137551°
E111.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808578491210938 y=0.402328491210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808578491210938 × 215)
    floor (0.808578491210938 × 32768)
    floor (26495.5)     		tx = 26495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402328491210938 × 215)
    floor (0.402328491210938 × 32768)
    floor (13183.5)     		ty = 13183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26495 / 13183 ti = "15/26495/13183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26495/13183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26495 ÷ 215
    26495 ÷ 32768     		x = 0.808563232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13183 ÷ 215
    13183 ÷ 32768     		y = 0.402313232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808563232421875 × 2 - 1) × π
    0.61712646484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93875997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402313232421875 × 2 - 1) × π
    0.19537353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.613784062735199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93875997} λ = 1.93875997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.613784062735199))-π/2
    2×atan(1.84740889997961)-π/2
    2×1.07465812730427-π/2
    2.14931625460854-1.57079632675     		φ = 0.57851993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93875997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.082764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57851993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.146750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26495 KachelY 13183 1.93875997 0.57851993 111.082764 33.146750
    Oben rechts KachelX + 1 26496 KachelY 13183 1.93895172 0.57851993 111.093750 33.146750
    Unten links KachelX 26495 KachelY + 1 13184 1.93875997 0.57835937 111.082764 33.137551
    Unten rechts KachelX + 1 26496 KachelY + 1 13184 1.93895172 0.57835937 111.093750 33.137551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57851993-0.57835937) × R
    0.000160559999999976 × 6371000     		dl = 1022.92775999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57851993-0.57835937) × R
    0.000160559999999976 × 6371000     		dr = 1022.92775999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93875997-1.93895172) × cos(0.57851993) × R
    0.000191749999999935 × 0.837272847226789 × 6371000     		do = 1022.84537313115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93875997-1.93895172) × cos(0.57835937) × R
    0.000191749999999935 × 0.837360628284139 × 6371000     		du = 1022.95260991622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57851993)-sin(0.57835937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837272847226789-0.837360628284139)×R²
    abs(1.93895172-1.93875997)×8.77810573498561e-05×R²
    0.000191749999999935×8.77810573498561e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.77810573498561e-05×40589641000000     		ar = 1046351.77635324m²