Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26494 / 13184
↖ ↑ ↗
← N 33.137551°
E111.071777°		 ← 1 022.95 m → N 33.137551°
E111.082764°		 →
↑
1 022.99 m
↓
↑
1 022.99 m
↓
N 33.128351°
E111.071777°		 ← 1 023.06 m →
1 046 527 m²		 N 33.128351°
E111.082764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808547973632812 y=0.402359008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808547973632812 × 215)
    floor (0.808547973632812 × 32768)
    floor (26494.5)     		tx = 26494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402359008789062 × 215)
    floor (0.402359008789062 × 32768)
    floor (13184.5)     		ty = 13184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26494 / 13184 ti = "15/26494/13184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26494/13184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26494 ÷ 215
    26494 ÷ 32768     		x = 0.80853271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13184 ÷ 215
    13184 ÷ 32768     		y = 0.40234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80853271484375 × 2 - 1) × π
    0.6170654296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.93856822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40234375 × 2 - 1) × π
    0.1953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93856822} λ = 1.93856822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.613592315136719))-π/2
    2×atan(1.84705469771943)-π/2
    2×1.07457785056741-π/2
    2.14915570113482-1.57079632675     		φ = 0.57835937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93856822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.071777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57835937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.137551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26494 KachelY 13184 1.93856822 0.57835937 111.071777 33.137551
    Oben rechts KachelX + 1 26495 KachelY 13184 1.93875997 0.57835937 111.082764 33.137551
    Unten links KachelX 26494 KachelY + 1 13185 1.93856822 0.57819880 111.071777 33.128351
    Unten rechts KachelX + 1 26495 KachelY + 1 13185 1.93875997 0.57819880 111.082764 33.128351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57835937-0.57819880) × R
    0.000160570000000027 × 6371000     		dl = 1022.99147000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57835937-0.57819880) × R
    0.000160570000000027 × 6371000     		dr = 1022.99147000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93856822-1.93875997) × cos(0.57835937) × R
    0.000191749999999935 × 0.837360628284139 × 6371000     		do = 1022.95260991622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93856822-1.93875997) × cos(0.57819880) × R
    0.000191749999999935 × 0.837448393219904 × 6371000     		du = 1023.05982700652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57835937)-sin(0.57819880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837360628284139-0.837448393219904)×R²
    abs(1.93875997-1.93856822)×8.77649357643451e-05×R²
    0.000191749999999935×8.77649357643451e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.77649357643451e-05×40589641000000     		ar = 1046526.63749173m²