Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26493 / 51072
↖ ↑ ↗
← S 70.377854°
W 34.469604°		 ← 205.11 m → S 70.377854°
W 34.464112°		 →
↑
205.15 m
↓
↑
205.15 m
↓
S 70.379699°
W 34.469604°		 ← 205.09 m →
42 076 m²		 S 70.379699°
W 34.464112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404258728027344 y=0.779304504394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404258728027344 × 216)
    floor (0.404258728027344 × 65536)
    floor (26493.5)     		tx = 26493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779304504394531 × 216)
    floor (0.779304504394531 × 65536)
    floor (51072.5)     		ty = 51072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26493 / 51072 ti = "16/26493/51072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26493/51072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26493 ÷ 216
    26493 ÷ 65536     		x = 0.404251098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51072 ÷ 216
    51072 ÷ 65536     		y = 0.779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404251098632812 × 2 - 1) × π
    -0.191497802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.60160809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779296875 × 2 - 1) × π
    -0.55859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75487402129102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60160809} λ = -0.60160809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75487402129102))-π/2
    2×atan(0.172929026295006)-π/2
    2×0.171235527526007-π/2
    0.342471055052013-1.57079632675     		φ = -1.22832527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60160809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.469604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22832527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.377854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26493 KachelY 51072 -0.60160809 -1.22832527 -34.469604 -70.377854
    Oben rechts KachelX + 1 26494 KachelY 51072 -0.60151222 -1.22832527 -34.464112 -70.377854
    Unten links KachelX 26493 KachelY + 1 51073 -0.60160809 -1.22835747 -34.469604 -70.379699
    Unten rechts KachelX + 1 26494 KachelY + 1 51073 -0.60151222 -1.22835747 -34.464112 -70.379699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22832527--1.22835747) × R
    3.21999999999267e-05 × 6371000     		dl = 205.146199999533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22832527--1.22835747) × R
    3.21999999999267e-05 × 6371000     		dr = 205.146199999533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60160809--0.60151222) × cos(-1.22832527) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.335815671936321 × 6371000     		do = 205.112105393033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60160809--0.60151222) × cos(-1.22835747) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.335785341689567 × 6371000     		du = 205.093580049254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22832527)-sin(-1.22835747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335815671936321-0.335785341689567)×R²
    abs(-0.60151222--0.60160809)×3.03302467539179e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.03302467539179e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.03302467539179e-05×40589641000000     		ar = 42076.0687970814m²