Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26493 / 46993
↖ ↑ ↗
← S 61.315088°
W 34.469604°		 ← 293.17 m → S 61.315088°
W 34.464112°		 →
↑
293.19 m
↓
↑
293.19 m
↓
S 61.317725°
W 34.469604°		 ← 293.15 m →
85 953 m²		 S 61.317725°
W 34.464112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404258728027344 y=0.717063903808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404258728027344 × 216)
    floor (0.404258728027344 × 65536)
    floor (26493.5)     		tx = 26493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717063903808594 × 216)
    floor (0.717063903808594 × 65536)
    floor (46993.5)     		ty = 46993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26493 / 46993 ti = "16/26493/46993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26493/46993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26493 ÷ 216
    26493 ÷ 65536     		x = 0.404251098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46993 ÷ 216
    46993 ÷ 65536     		y = 0.717056274414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404251098632812 × 2 - 1) × π
    -0.191497802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.60160809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717056274414062 × 2 - 1) × π
    -0.434112548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.3638047941906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60160809} λ = -0.60160809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3638047941906))-π/2
    2×atan(0.25568609093613)-π/2
    2×0.250323076862007-π/2
    0.500646153724014-1.57079632675     		φ = -1.07015017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60160809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.469604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07015017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.315088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26493 KachelY 46993 -0.60160809 -1.07015017 -34.469604 -61.315088
    Oben rechts KachelX + 1 26494 KachelY 46993 -0.60151222 -1.07015017 -34.464112 -61.315088
    Unten links KachelX 26493 KachelY + 1 46994 -0.60160809 -1.07019619 -34.469604 -61.317725
    Unten rechts KachelX + 1 26494 KachelY + 1 46994 -0.60151222 -1.07019619 -34.464112 -61.317725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07015017--1.07019619) × R
    4.6020000000091e-05 × 6371000     		dl = 293.19342000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07015017--1.07019619) × R
    4.6020000000091e-05 × 6371000     		dr = 293.19342000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60160809--0.60151222) × cos(-1.07015017) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.479992494415655 × 6371000     		do = 293.173545280869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60160809--0.60151222) × cos(-1.07019619) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.47995212182259 × 6371000     		du = 293.148886194781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07015017)-sin(-1.07019619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479992494415655-0.47995212182259)×R²
    abs(-0.60151222--0.60160809)×4.03725930648857e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.03725930648857e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.03725930648857e-05×40589641000000     		ar = 85952.9394687744m²