Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26492 / 51073
↖ ↑ ↗
← S 70.379699°
W 34.475097°		 ← 205.09 m → S 70.379699°
W 34.469604°		 →
↑
205.08 m
↓
↑
205.08 m
↓
S 70.381543°
W 34.475097°		 ← 205.08 m →
42 059 m²		 S 70.381543°
W 34.469604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404243469238281 y=0.779319763183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404243469238281 × 216)
    floor (0.404243469238281 × 65536)
    floor (26492.5)     		tx = 26492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779319763183594 × 216)
    floor (0.779319763183594 × 65536)
    floor (51073.5)     		ty = 51073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26492 / 51073 ti = "16/26492/51073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26492/51073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26492 ÷ 216
    26492 ÷ 65536     		x = 0.40423583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51073 ÷ 216
    51073 ÷ 65536     		y = 0.779312133789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40423583984375 × 2 - 1) × π
    -0.1915283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60170396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779312133789062 × 2 - 1) × π
    -0.558624267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75496989509026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60170396} λ = -0.60170396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75496989509026))-π/2
    2×atan(0.172912447726994)-π/2
    2×0.171219430290783-π/2
    0.342438860581565-1.57079632675     		φ = -1.22835747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60170396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.475097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22835747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.379699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26492 KachelY 51073 -0.60170396 -1.22835747 -34.475097 -70.379699
    Oben rechts KachelX + 1 26493 KachelY 51073 -0.60160809 -1.22835747 -34.469604 -70.379699
    Unten links KachelX 26492 KachelY + 1 51074 -0.60170396 -1.22838966 -34.475097 -70.381543
    Unten rechts KachelX + 1 26493 KachelY + 1 51074 -0.60160809 -1.22838966 -34.469604 -70.381543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22835747--1.22838966) × R
    3.21899999999875e-05 × 6371000     		dl = 205.08248999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22835747--1.22838966) × R
    3.21899999999875e-05 × 6371000     		dr = 205.08248999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60170396--0.60160809) × cos(-1.22835747) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.335785341689567 × 6371000     		do = 205.093580049254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60170396--0.60160809) × cos(-1.22838966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.335755020514151 × 6371000     		du = 205.075060246138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22835747)-sin(-1.22838966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335785341689567-0.335755020514151)×R²
    abs(-0.60160809--0.60170396)×3.03211754161814e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.03211754161814e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.03211754161814e-05×40589641000000     		ar = 42059.2030391887m²