Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26492 / 11218
↖ ↑ ↗
← N 49.253465°
E111.049805°		 ← 797.34 m → N 49.253465°
E111.060791°		 →
↑
797.46 m
↓
↑
797.46 m
↓
N 49.246293°
E111.049805°		 ← 797.46 m →
635 891 m²		 N 49.246293°
E111.060791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808486938476562 y=0.342361450195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808486938476562 × 215)
    floor (0.808486938476562 × 32768)
    floor (26492.5)     		tx = 26492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342361450195312 × 215)
    floor (0.342361450195312 × 32768)
    floor (11218.5)     		ty = 11218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26492 / 11218 ti = "15/26492/11218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26492/11218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26492 ÷ 215
    26492 ÷ 32768     		x = 0.8084716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11218 ÷ 215
    11218 ÷ 32768     		y = 0.34234619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8084716796875 × 2 - 1) × π
    0.616943359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93818473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34234619140625 × 2 - 1) × π
    0.3153076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.99056809374884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93818473} λ = 1.93818473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99056809374884))-π/2
    2×atan(2.69276378018365)-π/2
    2×1.21521572755741-π/2
    2.43043145511482-1.57079632675     		φ = 0.85963513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93818473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.049805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85963513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.253465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26492 KachelY 11218 1.93818473 0.85963513 111.049805 49.253465
    Oben rechts KachelX + 1 26493 KachelY 11218 1.93837647 0.85963513 111.060791 49.253465
    Unten links KachelX 26492 KachelY + 1 11219 1.93818473 0.85950996 111.049805 49.246293
    Unten rechts KachelX + 1 26493 KachelY + 1 11219 1.93837647 0.85950996 111.060791 49.246293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85963513-0.85950996) × R
    0.000125170000000008 × 6371000     		dl = 797.45807000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85963513-0.85950996) × R
    0.000125170000000008 × 6371000     		dr = 797.45807000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93818473-1.93837647) × cos(0.85963513) × R
    0.000191739999999996 × 0.652713938744302 × 6371000     		do = 797.339382187081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93818473-1.93837647) × cos(0.85950996) × R
    0.000191739999999996 × 0.652808762980805 × 6371000     		du = 797.455217154991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85963513)-sin(0.85950996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652713938744302-0.652808762980805)×R²
    abs(1.93837647-1.93818473)×9.48242365024221e-05×R²
    0.000191739999999996×9.48242365024221e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.48242365024221e-05×40589641000000     		ar = 635890.912448685m²