Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26491 / 11217
↖ ↑ ↗
← N 49.260635°
E111.038818°		 ← 797.27 m → N 49.260635°
E111.049805°		 →
↑
797.33 m
↓
↑
797.33 m
↓
N 49.253465°
E111.038818°		 ← 797.38 m →
635 730 m²		 N 49.253465°
E111.049805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808456420898438 y=0.342330932617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808456420898438 × 215)
    floor (0.808456420898438 × 32768)
    floor (26491.5)     		tx = 26491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342330932617188 × 215)
    floor (0.342330932617188 × 32768)
    floor (11217.5)     		ty = 11217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26491 / 11217 ti = "15/26491/11217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26491/11217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26491 ÷ 215
    26491 ÷ 32768     		x = 0.808441162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11217 ÷ 215
    11217 ÷ 32768     		y = 0.342315673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808441162109375 × 2 - 1) × π
    0.61688232421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.93799298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342315673828125 × 2 - 1) × π
    0.31536865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.990759841347321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93799298} λ = 1.93799298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.990759841347321))-π/2
    2×atan(2.69328016067755)-π/2
    2×1.21527830117738-π/2
    2.43055660235477-1.57079632675     		φ = 0.85976028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93799298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.038818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85976028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.260635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26491 KachelY 11217 1.93799298 0.85976028 111.038818 49.260635
    Oben rechts KachelX + 1 26492 KachelY 11217 1.93818473 0.85976028 111.049805 49.260635
    Unten links KachelX 26491 KachelY + 1 11218 1.93799298 0.85963513 111.038818 49.253465
    Unten rechts KachelX + 1 26492 KachelY + 1 11218 1.93818473 0.85963513 111.049805 49.253465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85976028-0.85963513) × R
    0.000125150000000018 × 6371000     		dl = 797.330650000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85976028-0.85963513) × R
    0.000125150000000018 × 6371000     		dr = 797.330650000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93799298-1.93818473) × cos(0.85976028) × R
    0.000191749999999935 × 0.652619119435108 × 6371000     		do = 797.265131602096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93799298-1.93818473) × cos(0.85963513) × R
    0.000191749999999935 × 0.652713938744302 × 6371000     		du = 797.380966591865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85976028)-sin(0.85963513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652619119435108-0.652713938744302)×R²
    abs(1.93818473-1.93799298)×9.4819309193972e-05×R²
    0.000191749999999935×9.4819309193972e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.4819309193972e-05×40589641000000     		ar = 635730.105826388m²