Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26485 / 51094
↖ ↑ ↗
← S 70.418397°
W 34.513550°		 ← 204.70 m → S 70.418397°
W 34.508057°		 →
↑
204.70 m
↓
↑
204.70 m
↓
S 70.420238°
W 34.513550°		 ← 204.69 m →
41 901 m²		 S 70.420238°
W 34.508057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404136657714844 y=0.779640197753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404136657714844 × 216)
    floor (0.404136657714844 × 65536)
    floor (26485.5)     		tx = 26485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779640197753906 × 216)
    floor (0.779640197753906 × 65536)
    floor (51094.5)     		ty = 51094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26485 / 51094 ti = "16/26485/51094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26485/51094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26485 ÷ 216
    26485 ÷ 65536     		x = 0.404129028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51094 ÷ 216
    51094 ÷ 65536     		y = 0.779632568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404129028320312 × 2 - 1) × π
    -0.191741943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.60237508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779632568359375 × 2 - 1) × π
    -0.55926513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7569832448743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60237508} λ = -0.60237508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7569832448743))-π/2
    2×atan(0.172564664709616)-π/2
    2×0.170881723963408-π/2
    0.341763447926816-1.57079632675     		φ = -1.22903288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60237508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.513550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22903288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.418397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26485 KachelY 51094 -0.60237508 -1.22903288 -34.513550 -70.418397
    Oben rechts KachelX + 1 26486 KachelY 51094 -0.60227921 -1.22903288 -34.508057 -70.418397
    Unten links KachelX 26485 KachelY + 1 51095 -0.60237508 -1.22906501 -34.513550 -70.420238
    Unten rechts KachelX + 1 26486 KachelY + 1 51095 -0.60227921 -1.22906501 -34.508057 -70.420238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22903288--1.22906501) × R
    3.21299999999081e-05 × 6371000     		dl = 204.700229999414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22903288--1.22906501) × R
    3.21299999999081e-05 × 6371000     		dr = 204.700229999414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60237508--0.60227921) × cos(-1.22903288) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.33514907044275 × 6371000     		do = 204.704953353295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60237508--0.60227921) × cos(-1.22906501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.335118798504674 × 6371000     		du = 204.686463623744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22903288)-sin(-1.22906501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33514907044275-0.335118798504674)×R²
    abs(-0.60227921--0.60237508)×3.02719380760319e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.02719380760319e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.02719380760319e-05×40589641000000     		ar = 41901.2586111604m²