Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26484 / 51092
↖ ↑ ↗
← S 70.414715°
W 34.519043°		 ← 204.74 m → S 70.414715°
W 34.513550°		 →
↑
204.76 m
↓
↑
204.76 m
↓
S 70.416556°
W 34.519043°		 ← 204.72 m →
41 922 m²		 S 70.416556°
W 34.513550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404121398925781 y=0.779609680175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404121398925781 × 216)
    floor (0.404121398925781 × 65536)
    floor (26484.5)     		tx = 26484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779609680175781 × 216)
    floor (0.779609680175781 × 65536)
    floor (51092.5)     		ty = 51092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26484 / 51092 ti = "16/26484/51092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26484/51092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26484 ÷ 216
    26484 ÷ 65536     		x = 0.40411376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51092 ÷ 216
    51092 ÷ 65536     		y = 0.77960205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40411376953125 × 2 - 1) × π
    -0.1917724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.60247095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77960205078125 × 2 - 1) × π
    -0.5592041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75679149727582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60247095} λ = -0.60247095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75679149727582))-π/2
    2×atan(0.172597756742215)-π/2
    2×0.170913858880809-π/2
    0.341827717761618-1.57079632675     		φ = -1.22896861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60247095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.519043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22896861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.414715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26484 KachelY 51092 -0.60247095 -1.22896861 -34.519043 -70.414715
    Oben rechts KachelX + 1 26485 KachelY 51092 -0.60237508 -1.22896861 -34.513550 -70.414715
    Unten links KachelX 26484 KachelY + 1 51093 -0.60247095 -1.22900075 -34.519043 -70.416556
    Unten rechts KachelX + 1 26485 KachelY + 1 51093 -0.60237508 -1.22900075 -34.513550 -70.416556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22896861--1.22900075) × R
    3.21400000000693e-05 × 6371000     		dl = 204.763940000442m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22896861--1.22900075) × R
    3.21400000000693e-05 × 6371000     		dr = 204.763940000442m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60247095--0.60237508) × cos(-1.22896861) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.335209622702346 × 6371000     		do = 204.741937932903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60247095--0.60237508) × cos(-1.22900075) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.335179342034839 × 6371000     		du = 204.723442871522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22896861)-sin(-1.22900075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335209622702346-0.335179342034839)×R²
    abs(-0.60237508--0.60247095)×3.02806675072098e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.02806675072098e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.02806675072098e-05×40589641000000     		ar = 41921.8723374768m²