Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26483 / 51123
↖ ↑ ↗
← S 70.471717°
W 34.524536°		 ← 204.19 m → S 70.471717°
W 34.519043°		 →
↑
204.13 m
↓
↑
204.13 m
↓
S 70.473553°
W 34.524536°		 ← 204.17 m →
41 679 m²		 S 70.473553°
W 34.519043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404106140136719 y=0.780082702636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404106140136719 × 216)
    floor (0.404106140136719 × 65536)
    floor (26483.5)     		tx = 26483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780082702636719 × 216)
    floor (0.780082702636719 × 65536)
    floor (51123.5)     		ty = 51123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26483 / 51123 ti = "16/26483/51123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26483/51123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26483 ÷ 216
    26483 ÷ 65536     		x = 0.404098510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51123 ÷ 216
    51123 ÷ 65536     		y = 0.780075073242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404098510742188 × 2 - 1) × π
    -0.191802978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60256683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780075073242188 × 2 - 1) × π
    -0.560150146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75976358505226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60256683} λ = -0.60256683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75976358505226))-π/2
    2×atan(0.172085542608887)-π/2
    2×0.170416419523899-π/2
    0.340832839047798-1.57079632675     		φ = -1.22996349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60256683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.524536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22996349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.471717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26483 KachelY 51123 -0.60256683 -1.22996349 -34.524536 -70.471717
    Oben rechts KachelX + 1 26484 KachelY 51123 -0.60247095 -1.22996349 -34.519043 -70.471717
    Unten links KachelX 26483 KachelY + 1 51124 -0.60256683 -1.22999553 -34.524536 -70.473553
    Unten rechts KachelX + 1 26484 KachelY + 1 51124 -0.60247095 -1.22999553 -34.519043 -70.473553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22996349--1.22999553) × R
    3.20400000000109e-05 × 6371000     		dl = 204.12684000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22996349--1.22999553) × R
    3.20400000000109e-05 × 6371000     		dr = 204.12684000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60256683--0.60247095) × cos(-1.22996349) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.334272137167887 × 6371000     		do = 204.19062971187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60256683--0.60247095) × cos(-1.22999553) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.334241940046108 × 6371000     		du = 204.172183755339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22996349)-sin(-1.22999553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334272137167887-0.334241940046108)×R²
    abs(-0.60247095--0.60256683)×3.01971217793739e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.01971217793739e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.01971217793739e-05×40589641000000     		ar = 41678.9053467361m²