Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26480 / 47184
↖ ↑ ↗
← S 61.814664°
W 34.541016°		 ← 288.49 m → S 61.814664°
W 34.535523°		 →
↑
288.48 m
↓
↑
288.48 m
↓
S 61.817258°
W 34.541016°		 ← 288.47 m →
83 220 m²		 S 61.817258°
W 34.535523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404060363769531 y=0.719978332519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404060363769531 × 216)
    floor (0.404060363769531 × 65536)
    floor (26480.5)     		tx = 26480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719978332519531 × 216)
    floor (0.719978332519531 × 65536)
    floor (47184.5)     		ty = 47184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26480 / 47184 ti = "16/26480/47184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26480/47184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26480 ÷ 216
    26480 ÷ 65536     		x = 0.404052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47184 ÷ 216
    47184 ÷ 65536     		y = 0.719970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404052734375 × 2 - 1) × π
    -0.19189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60285445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.719970703125 × 2 - 1) × π
    -0.43994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.38211668984546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60285445} λ = -0.60285445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38211668984546))-π/2
    2×atan(0.25104660247697)-π/2
    2×0.24596345791883-π/2
    0.49192691583766-1.57079632675     		φ = -1.07886941
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60285445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.541016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07886941 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.814664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26480 KachelY 47184 -0.60285445 -1.07886941 -34.541016 -61.814664
    Oben rechts KachelX + 1 26481 KachelY 47184 -0.60275858 -1.07886941 -34.535523 -61.814664
    Unten links KachelX 26480 KachelY + 1 47185 -0.60285445 -1.07891469 -34.541016 -61.817258
    Unten rechts KachelX + 1 26481 KachelY + 1 47185 -0.60275858 -1.07891469 -34.535523 -61.817258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07886941--1.07891469) × R
    4.52799999999254e-05 × 6371000     		dl = 288.478879999525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07886941--1.07891469) × R
    4.52799999999254e-05 × 6371000     		dr = 288.478879999525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60285445--0.60275858) × cos(-1.07886941) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.472325195404319 × 6371000     		do = 288.490452815812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60285445--0.60275858) × cos(-1.07891469) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.472285284024923 × 6371000     		du = 288.466075433393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07886941)-sin(-1.07891469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.472325195404319-0.472285284024923)×R²
    abs(-0.60275858--0.60285445)×3.99113793958517e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.99113793958517e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.99113793958517e-05×40589641000000     		ar = 83219.8865530771m²