Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26480 / 10830
↖ ↑ ↗
← N 51.957807°
E110.917969°		 ← 752.82 m → N 51.957807°
E110.928955°		 →
↑
752.86 m
↓
↑
752.86 m
↓
N 51.951037°
E110.917969°		 ← 752.94 m →
566 815 m²		 N 51.951037°
E110.928955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808120727539062 y=0.330520629882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808120727539062 × 215)
    floor (0.808120727539062 × 32768)
    floor (26480.5)     		tx = 26480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330520629882812 × 215)
    floor (0.330520629882812 × 32768)
    floor (10830.5)     		ty = 10830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26480 / 10830 ti = "15/26480/10830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26480/10830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26480 ÷ 215
    26480 ÷ 32768     		x = 0.80810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10830 ÷ 215
    10830 ÷ 32768     		y = 0.33050537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80810546875 × 2 - 1) × π
    0.6162109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93588375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33050537109375 × 2 - 1) × π
    0.3389892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06496616195917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93588375} λ = 1.93588375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06496616195917))-π/2
    2×atan(2.90074082701237)-π/2
    2×1.23881556891313-π/2
    2.47763113782626-1.57079632675     		φ = 0.90683481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93588375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.917969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90683481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.957807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26480 KachelY 10830 1.93588375 0.90683481 110.917969 51.957807
    Oben rechts KachelX + 1 26481 KachelY 10830 1.93607550 0.90683481 110.928955 51.957807
    Unten links KachelX 26480 KachelY + 1 10831 1.93588375 0.90671664 110.917969 51.951037
    Unten rechts KachelX + 1 26481 KachelY + 1 10831 1.93607550 0.90671664 110.928955 51.951037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90683481-0.90671664) × R
    0.000118170000000029 × 6371000     		dl = 752.861070000182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90683481-0.90671664) × R
    0.000118170000000029 × 6371000     		dr = 752.861070000182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93588375-1.93607550) × cos(0.90683481) × R
    0.000191750000000157 × 0.616241600276933 × 6371000     		do = 752.824926381728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93588375-1.93607550) × cos(0.90671664) × R
    0.000191750000000157 × 0.616334661604405 × 6371000     		du = 752.938613752026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90683481)-sin(0.90671664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616241600276933-0.616334661604405)×R²
    abs(1.93607550-1.93588375)×9.30613274726655e-05×R²
    0.000191750000000157×9.30613274726655e-05×6371000²
    0.000191750000000157×9.30613274726655e-05×40589641000000     		ar = 566815.375656m²