Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26478 / 51087
↖ ↑ ↗
← S 70.405505°
W 34.552002°		 ← 204.86 m → S 70.405505°
W 34.546509°		 →
↑
204.83 m
↓
↑
204.83 m
↓
S 70.407347°
W 34.552002°		 ← 204.84 m →
41 958 m²		 S 70.407347°
W 34.546509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404029846191406 y=0.779533386230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404029846191406 × 216)
    floor (0.404029846191406 × 65536)
    floor (26478.5)     		tx = 26478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779533386230469 × 216)
    floor (0.779533386230469 × 65536)
    floor (51087.5)     		ty = 51087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26478 / 51087 ti = "16/26478/51087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26478/51087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26478 ÷ 216
    26478 ÷ 65536     		x = 0.404022216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51087 ÷ 216
    51087 ÷ 65536     		y = 0.779525756835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404022216796875 × 2 - 1) × π
    -0.19195556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60304620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779525756835938 × 2 - 1) × π
    -0.559051513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75631212827962
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60304620} λ = -0.60304620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75631212827962))-π/2
    2×atan(0.172680514589799)-π/2
    2×0.170994221576771-π/2
    0.341988443153542-1.57079632675     		φ = -1.22880788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60304620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.552002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22880788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.405505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26478 KachelY 51087 -0.60304620 -1.22880788 -34.552002 -70.405505
    Oben rechts KachelX + 1 26479 KachelY 51087 -0.60295032 -1.22880788 -34.546509 -70.405505
    Unten links KachelX 26478 KachelY + 1 51088 -0.60304620 -1.22884003 -34.552002 -70.407347
    Unten rechts KachelX + 1 26479 KachelY + 1 51088 -0.60295032 -1.22884003 -34.546509 -70.407347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22880788--1.22884003) × R
    3.21500000000086e-05 × 6371000     		dl = 204.827650000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22880788--1.22884003) × R
    3.21500000000086e-05 × 6371000     		dr = 204.827650000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60304620--0.60295032) × cos(-1.22880788) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.335361049107976 × 6371000     		do = 204.855793181826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60304620--0.60295032) × cos(-1.22884003) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.335330760751424 × 6371000     		du = 204.837291494399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22880788)-sin(-1.22884003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335361049107976-0.335330760751424)×R²
    abs(-0.60295032--0.60304620)×3.02883565521106e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.02883565521106e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.02883565521106e-05×40589641000000     		ar = 41958.2358813842m²