Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26478 / 47183
↖ ↑ ↗
← S 61.812069°
W 34.552002°		 ← 288.54 m → S 61.812069°
W 34.546509°		 →
↑
288.48 m
↓
↑
288.48 m
↓
S 61.814664°
W 34.552002°		 ← 288.52 m →
83 236 m²		 S 61.814664°
W 34.546509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404029846191406 y=0.719963073730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404029846191406 × 216)
    floor (0.404029846191406 × 65536)
    floor (26478.5)     		tx = 26478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719963073730469 × 216)
    floor (0.719963073730469 × 65536)
    floor (47183.5)     		ty = 47183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26478 / 47183 ti = "16/26478/47183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26478/47183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26478 ÷ 216
    26478 ÷ 65536     		x = 0.404022216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47183 ÷ 216
    47183 ÷ 65536     		y = 0.719955444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404022216796875 × 2 - 1) × π
    -0.19195556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60304620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.719955444335938 × 2 - 1) × π
    -0.439910888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.38202081604622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60304620} λ = -0.60304620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38202081604622))-π/2
    2×atan(0.251070672422356)-π/2
    2×0.245986100680967-π/2
    0.491972201361935-1.57079632675     		φ = -1.07882413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60304620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.552002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07882413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.812069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26478 KachelY 47183 -0.60304620 -1.07882413 -34.552002 -61.812069
    Oben rechts KachelX + 1 26479 KachelY 47183 -0.60295032 -1.07882413 -34.546509 -61.812069
    Unten links KachelX 26478 KachelY + 1 47184 -0.60304620 -1.07886941 -34.552002 -61.814664
    Unten rechts KachelX + 1 26479 KachelY + 1 47184 -0.60295032 -1.07886941 -34.546509 -61.814664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07882413--1.07886941) × R
    4.52799999999254e-05 × 6371000     		dl = 288.478879999525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07882413--1.07886941) × R
    4.52799999999254e-05 × 6371000     		dr = 288.478879999525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60304620--0.60295032) × cos(-1.07882413) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.472365105815317 × 6371000     		do = 288.544923987454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60304620--0.60295032) × cos(-1.07886941) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.472325195404319 × 6371000     		du = 288.520544653828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07882413)-sin(-1.07886941))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.472365105815317-0.472325195404319)×R²
    abs(-0.60295032--0.60304620)×3.99104109977122e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.99104109977122e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.99104109977122e-05×40589641000000     		ar = 83235.6000545473m²