Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26477 / 5854
↖ ↑ ↗
← N 81.336499°
W 34.557495°		 ← 92 m → N 81.336499°
W 34.552002°		 →
↑
92 m
↓
↑
92 m
↓
N 81.335672°
W 34.557495°		 ← 92.01 m →
8 464 m²		 N 81.335672°
W 34.552002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404014587402344 y=0.0893325805664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404014587402344 × 216)
    floor (0.404014587402344 × 65536)
    floor (26477.5)     		tx = 26477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0893325805664062 × 216)
    floor (0.0893325805664062 × 65536)
    floor (5854.5)     		ty = 5854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26477 / 5854 ti = "16/26477/5854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26477/5854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26477 ÷ 216
    26477 ÷ 65536     		x = 0.404006958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5854 ÷ 216
    5854 ÷ 65536     		y = 0.089324951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404006958007812 × 2 - 1) × π
    -0.191986083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.60314207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.089324951171875 × 2 - 1) × π
    0.82135009765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58034743274838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60314207} λ = -0.60314207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58034743274838))-π/2
    2×atan(13.2017240742423)-π/2
    2×1.49519302064077-π/2
    2.99038604128153-1.57079632675     		φ = 1.41958971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60314207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.557495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41958971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.336499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26477 KachelY 5854 -0.60314207 1.41958971 -34.557495 81.336499
    Oben rechts KachelX + 1 26478 KachelY 5854 -0.60304620 1.41958971 -34.552002 81.336499
    Unten links KachelX 26477 KachelY + 1 5855 -0.60314207 1.41957527 -34.557495 81.335672
    Unten rechts KachelX + 1 26478 KachelY + 1 5855 -0.60304620 1.41957527 -34.552002 81.335672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41958971-1.41957527) × R
    1.44399999999489e-05 × 6371000     		dl = 91.9972399996747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41958971-1.41957527) × R
    1.44399999999489e-05 × 6371000     		dr = 91.9972399996747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60314207--0.60304620) × cos(1.41958971) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150631091187767 × 6371000     		do = 92.0036282792409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60314207--0.60304620) × cos(1.41957527) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150645366412292 × 6371000     		du = 92.0123474117948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41958971)-sin(1.41957527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150631091187767-0.150645366412292)×R²
    abs(-0.60304620--0.60314207)×1.42752245251843e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.42752245251843e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.42752245251843e-05×40589641000000     		ar = 8464.48093968745m²