Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26475 / 51133
↖ ↑ ↗
← S 70.490070°
W 34.568482°		 ← 204.01 m → S 70.490070°
W 34.562988°		 →
↑
204 m
↓
↑
204 m
↓
S 70.491905°
W 34.568482°		 ← 203.99 m →
41 615 m²		 S 70.491905°
W 34.562988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403984069824219 y=0.780235290527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403984069824219 × 216)
    floor (0.403984069824219 × 65536)
    floor (26475.5)     		tx = 26475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780235290527344 × 216)
    floor (0.780235290527344 × 65536)
    floor (51133.5)     		ty = 51133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26475 / 51133 ti = "16/26475/51133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26475/51133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26475 ÷ 216
    26475 ÷ 65536     		x = 0.403976440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51133 ÷ 216
    51133 ÷ 65536     		y = 0.780227661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403976440429688 × 2 - 1) × π
    -0.192047119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60333382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780227661132812 × 2 - 1) × π
    -0.560455322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76072232304466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60333382} λ = -0.60333382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76072232304466))-π/2
    2×atan(0.171920636724645)-π/2
    2×0.170256252200313-π/2
    0.340512504400626-1.57079632675     		φ = -1.23028382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60333382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.568482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23028382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.490070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26475 KachelY 51133 -0.60333382 -1.23028382 -34.568482 -70.490070
    Oben rechts KachelX + 1 26476 KachelY 51133 -0.60323794 -1.23028382 -34.562988 -70.490070
    Unten links KachelX 26475 KachelY + 1 51134 -0.60333382 -1.23031584 -34.568482 -70.491905
    Unten rechts KachelX + 1 26476 KachelY + 1 51134 -0.60323794 -1.23031584 -34.562988 -70.491905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23028382--1.23031584) × R
    3.20200000001325e-05 × 6371000     		dl = 203.999420000844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23028382--1.23031584) × R
    3.20200000001325e-05 × 6371000     		dr = 203.999420000844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60333382--0.60323794) × cos(-1.23028382) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.333970216494272 × 6371000     		do = 204.006201021549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60333382--0.60323794) × cos(-1.23031584) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.333940034795323 × 6371000     		du = 203.987764486077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23028382)-sin(-1.23031584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333970216494272-0.333940034795323)×R²
    abs(-0.60323794--0.60333382)×3.01816989483616e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.01816989483616e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.01816989483616e-05×40589641000000     		ar = 41615.2661671708m²