Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26475 / 51083
↖ ↑ ↗
← S 70.398135°
W 34.568482°		 ← 204.93 m → S 70.398135°
W 34.562988°		 →
↑
204.89 m
↓
↑
204.89 m
↓
S 70.399978°
W 34.568482°		 ← 204.91 m →
41 986 m²		 S 70.399978°
W 34.562988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403984069824219 y=0.779472351074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403984069824219 × 216)
    floor (0.403984069824219 × 65536)
    floor (26475.5)     		tx = 26475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779472351074219 × 216)
    floor (0.779472351074219 × 65536)
    floor (51083.5)     		ty = 51083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26475 / 51083 ti = "16/26475/51083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26475/51083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26475 ÷ 216
    26475 ÷ 65536     		x = 0.403976440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51083 ÷ 216
    51083 ÷ 65536     		y = 0.779464721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403976440429688 × 2 - 1) × π
    -0.192047119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60333382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779464721679688 × 2 - 1) × π
    -0.558929443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75592863308266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60333382} λ = -0.60333382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75592863308266))-π/2
    2×atan(0.172746749437314)-π/2
    2×0.171058537869342-π/2
    0.342117075738685-1.57079632675     		φ = -1.22867925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60333382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.568482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22867925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.398135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26475 KachelY 51083 -0.60333382 -1.22867925 -34.568482 -70.398135
    Oben rechts KachelX + 1 26476 KachelY 51083 -0.60323794 -1.22867925 -34.562988 -70.398135
    Unten links KachelX 26475 KachelY + 1 51084 -0.60333382 -1.22871141 -34.568482 -70.399978
    Unten rechts KachelX + 1 26476 KachelY + 1 51084 -0.60323794 -1.22871141 -34.562988 -70.399978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22867925--1.22871141) × R
    3.21600000001698e-05 × 6371000     		dl = 204.891360001082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22867925--1.22871141) × R
    3.21600000001698e-05 × 6371000     		dr = 204.891360001082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60333382--0.60323794) × cos(-1.22867925) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.335482227328901 × 6371000     		do = 204.929815077658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60333382--0.60323794) × cos(-1.22871141) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.335451930938833 × 6371000     		du = 204.911308482947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22867925)-sin(-1.22871141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335482227328901-0.335451930938833)×R²
    abs(-0.60323794--0.60333382)×3.0296390067186e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.0296390067186e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.0296390067186e-05×40589641000000     		ar = 41986.4525993227m²