Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26475 / 11235
↖ ↑ ↗
← N 49.131408°
E110.863037°		 ← 799.31 m → N 49.131408°
E110.874023°		 →
↑
799.37 m
↓
↑
799.37 m
↓
N 49.124219°
E110.863037°		 ← 799.42 m →
638 990 m²		 N 49.124219°
E110.874023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807968139648438 y=0.342880249023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807968139648438 × 215)
    floor (0.807968139648438 × 32768)
    floor (26475.5)     		tx = 26475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342880249023438 × 215)
    floor (0.342880249023438 × 32768)
    floor (11235.5)     		ty = 11235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26475 / 11235 ti = "15/26475/11235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26475/11235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26475 ÷ 215
    26475 ÷ 32768     		x = 0.807952880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11235 ÷ 215
    11235 ÷ 32768     		y = 0.342864990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807952880859375 × 2 - 1) × π
    0.61590576171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.93492502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342864990234375 × 2 - 1) × π
    0.31427001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.987308384574677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93492502} λ = 1.93492502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987308384574677))-π/2
    2×atan(2.68400044410874)-π/2
    2×1.21415058487138-π/2
    2.42830116974275-1.57079632675     		φ = 0.85750484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93492502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.863037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85750484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.131408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26475 KachelY 11235 1.93492502 0.85750484 110.863037 49.131408
    Oben rechts KachelX + 1 26476 KachelY 11235 1.93511676 0.85750484 110.874023 49.131408
    Unten links KachelX 26475 KachelY + 1 11236 1.93492502 0.85737937 110.863037 49.124219
    Unten rechts KachelX + 1 26476 KachelY + 1 11236 1.93511676 0.85737937 110.874023 49.124219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85750484-0.85737937) × R
    0.000125470000000072 × 6371000     		dl = 799.369370000458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85750484-0.85737937) × R
    0.000125470000000072 × 6371000     		dr = 799.369370000458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93492502-1.93511676) × cos(0.85750484) × R
    0.000191739999999996 × 0.654326373671995 × 6371000     		do = 799.309093254592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93492502-1.93511676) × cos(0.85737937) × R
    0.000191739999999996 × 0.654421250474776 × 6371000     		du = 799.424992436183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85750484)-sin(0.85737937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654326373671995-0.654421250474776)×R²
    abs(1.93511676-1.93492502)×9.48768027810853e-05×R²
    0.000191739999999996×9.48768027810853e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.48768027810853e-05×40589641000000     		ar = 638989.530276622m²