Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26471 / 47203
↖ ↑ ↗
← S 61.863921°
W 34.590454°		 ← 288.03 m → S 61.863921°
W 34.584961°		 →
↑
288.03 m
↓
↑
288.03 m
↓
S 61.866511°
W 34.590454°		 ← 288 m →
82 958 m²		 S 61.866511°
W 34.584961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403923034667969 y=0.720268249511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403923034667969 × 216)
    floor (0.403923034667969 × 65536)
    floor (26471.5)     		tx = 26471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720268249511719 × 216)
    floor (0.720268249511719 × 65536)
    floor (47203.5)     		ty = 47203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26471 / 47203 ti = "16/26471/47203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26471/47203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26471 ÷ 216
    26471 ÷ 65536     		x = 0.403915405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47203 ÷ 216
    47203 ÷ 65536     		y = 0.720260620117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403915405273438 × 2 - 1) × π
    -0.192169189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60371731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720260620117188 × 2 - 1) × π
    -0.440521240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.38393829203102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60371731} λ = -0.60371731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38393829203102))-π/2
    2×atan(0.250589711700178)-π/2
    2×0.245533608844648-π/2
    0.491067217689296-1.57079632675     		φ = -1.07972911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60371731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.590454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07972911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.863921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26471 KachelY 47203 -0.60371731 -1.07972911 -34.590454 -61.863921
    Oben rechts KachelX + 1 26472 KachelY 47203 -0.60362144 -1.07972911 -34.584961 -61.863921
    Unten links KachelX 26471 KachelY + 1 47204 -0.60371731 -1.07977432 -34.590454 -61.866511
    Unten rechts KachelX + 1 26472 KachelY + 1 47204 -0.60362144 -1.07977432 -34.584961 -61.866511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07972911--1.07977432) × R
    4.52100000001288e-05 × 6371000     		dl = 288.03291000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07972911--1.07977432) × R
    4.52100000001288e-05 × 6371000     		dr = 288.03291000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60371731--0.60362144) × cos(-1.07972911) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.47156726042776 × 6371000     		do = 288.027515401674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60371731--0.60362144) × cos(-1.07977432) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.471527392407187 × 6371000     		du = 288.003164502294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07972911)-sin(-1.07977432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.47156726042776-0.471527392407187)×R²
    abs(-0.60362144--0.60371731)×3.98680205727087e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.98680205727087e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.98680205727087e-05×40589641000000     		ar = 82957.896505524m²