Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26470 / 5864
↖ ↑ ↗
← N 81.328221°
W 34.595947°		 ← 92.10 m → N 81.328221°
W 34.590454°		 →
↑
92.12 m
↓
↑
92.12 m
↓
N 81.327392°
W 34.595947°		 ← 92.11 m →
8 485 m²		 N 81.327392°
W 34.590454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403907775878906 y=0.0894851684570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403907775878906 × 216)
    floor (0.403907775878906 × 65536)
    floor (26470.5)     		tx = 26470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0894851684570312 × 216)
    floor (0.0894851684570312 × 65536)
    floor (5864.5)     		ty = 5864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26470 / 5864 ti = "16/26470/5864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26470/5864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26470 ÷ 216
    26470 ÷ 65536     		x = 0.403900146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5864 ÷ 216
    5864 ÷ 65536     		y = 0.0894775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403900146484375 × 2 - 1) × π
    -0.19219970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60381319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0894775390625 × 2 - 1) × π
    0.821044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.57938869475598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60381319} λ = -0.60381319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57938869475598))-π/2
    2×atan(13.1890731452393)-π/2
    2×1.49512077853808-π/2
    2.99024155707616-1.57079632675     		φ = 1.41944523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60381319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.595947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41944523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.328221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26470 KachelY 5864 -0.60381319 1.41944523 -34.595947 81.328221
    Oben rechts KachelX + 1 26471 KachelY 5864 -0.60371731 1.41944523 -34.590454 81.328221
    Unten links KachelX 26470 KachelY + 1 5865 -0.60381319 1.41943077 -34.595947 81.327392
    Unten rechts KachelX + 1 26471 KachelY + 1 5865 -0.60371731 1.41943077 -34.590454 81.327392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41944523-1.41943077) × R
    1.44600000000494e-05 × 6371000     		dl = 92.1246600003149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41944523-1.41943077) × R
    1.44600000000494e-05 × 6371000     		dr = 92.1246600003149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60381319--0.60371731) × cos(1.41944523) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.150773921104602 × 6371000     		do = 92.1004728521955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60381319--0.60371731) × cos(1.41943077) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.150788215786025 × 6371000     		du = 92.1092047794988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41944523)-sin(1.41943077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150773921104602-0.150788215786025)×R²
    abs(-0.60371731--0.60381319)×1.42946814228884e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.42946814228884e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.42946814228884e-05×40589641000000     		ar = 8485.12696018388m²