Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26468 / 47204
↖ ↑ ↗
← S 61.866511°
W 34.606934°		 ← 288.03 m → S 61.866511°
W 34.601440°		 →
↑
287.97 m
↓
↑
287.97 m
↓
S 61.869101°
W 34.606934°		 ← 288.01 m →
82 941 m²		 S 61.869101°
W 34.601440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403877258300781 y=0.720283508300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403877258300781 × 216)
    floor (0.403877258300781 × 65536)
    floor (26468.5)     		tx = 26468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720283508300781 × 216)
    floor (0.720283508300781 × 65536)
    floor (47204.5)     		ty = 47204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26468 / 47204 ti = "16/26468/47204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26468/47204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26468 ÷ 216
    26468 ÷ 65536     		x = 0.40386962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47204 ÷ 216
    47204 ÷ 65536     		y = 0.72027587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40386962890625 × 2 - 1) × π
    -0.1922607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.60400494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72027587890625 × 2 - 1) × π
    -0.4405517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.38403416583026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60400494} λ = -0.60400494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38403416583026))-π/2
    2×atan(0.250565687864113)-π/2
    2×0.245511004327747-π/2
    0.491022008655493-1.57079632675     		φ = -1.07977432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60400494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.606934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07977432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.866511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26468 KachelY 47204 -0.60400494 -1.07977432 -34.606934 -61.866511
    Oben rechts KachelX + 1 26469 KachelY 47204 -0.60390906 -1.07977432 -34.601440 -61.866511
    Unten links KachelX 26468 KachelY + 1 47205 -0.60400494 -1.07981952 -34.606934 -61.869101
    Unten rechts KachelX + 1 26469 KachelY + 1 47205 -0.60390906 -1.07981952 -34.601440 -61.869101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07977432--1.07981952) × R
    4.51999999999675e-05 × 6371000     		dl = 287.969199999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07977432--1.07981952) × R
    4.51999999999675e-05 × 6371000     		dr = 287.969199999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60400494--0.60390906) × cos(-1.07977432) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.471527392407187 × 6371000     		do = 288.033205512615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60400494--0.60390906) × cos(-1.07981952) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.471487532241566 × 6371000     		du = 288.008856871453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07977432)-sin(-1.07981952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471527392407187-0.471487532241566)×R²
    abs(-0.60390906--0.60400494)×3.98601656209085e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.98601656209085e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.98601656209085e-05×40589641000000     		ar = 82941.1859497892m²